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1、二 抛物线的焦点弦性质 例1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 1 AB x1 x2 p 2 通径长为2p 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 4 若直线AB的倾斜角为 则 AB 2p sin2 5 以AB为直径的圆与准线相切 6 焦点F对A B在准线上射影的张角为90o 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 1 AB x1 x2 p 2 通径长为2p 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则
2、6 焦点F对A B在准线上射影的张角为90o 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 证明 思路分析 韦达定理 F 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 法3 利用性质焦点F对A B在准线上射影的张角为90 代入抛物线得y2 m s 练习 1 若直线过定点M s 0 s 0 与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 求证 x1x2 s2 y1y2 2ps 证明 设
3、AB的方程为 m s m 2 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 且有x1x2 s2 y1y2 2ps 求证 直线过定点 s 0 s 0 证明 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 4 若直线AB的倾斜角为 则 AB 2p sin2 证明 思路分析 AB AF BF 思考 焦点弦何时最短 过焦点的所有弦中 通径最短 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1
4、 y1 B x2 y2 1 AO交准线于C 则直线CB平行于抛线的对称轴 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 2 过B作BC 准线l 垂足为C 则AC过原点O共线 2001年高考题 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 二 抛物线中的直角三角形问题 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵
5、坐标之积 解答 1 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 OA OB kOAkOB 1 x1x2 y1y2 0 y12 2px1 y22 2px2 y1 0 y2 0 y1y2 4p2 x1x2 4p2 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 2 求证 直线AB过定点 解答 2 y12 2px1 y22 2px2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 AB过定点T 2p 0 同理 以代k得B 2pk2 2pk 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 3 求弦AB中点P的轨迹方程 即y02 px0 2p2 中点M轨迹方程y2
6、 px 2p2 3 设OA y kx 代入y2 2px得 k0 4 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 4 求 AOB面积的最小值 5 法一 设M x3 y3 则 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 由 1 知 y1y2 4p2 整理得 x32 y32 2px3 0 点M轨迹方程为x2 y2 2px 0 去掉 0 0 M在以OT为直径的圆上 点M轨迹方程为 x p 2 y2 p2 去掉 0 0 评注 此类问题要充分利用 2 的结论 OMT 90 又OT为定线段 法二 AB过定点T 2p 0 7 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 小结 在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略 因此 在求出曲线方程之后而仔细检查有无 不法分子 掺杂其中 应将其剔除 另一方面又要注意有无 漏网之鱼 逍遥法外 应将其找回
