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1、湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2 换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题
2、例示范讲解 例1 (1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(
3、1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为 f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1 例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因
4、此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)当1x1时f(x)等于( )A f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(x)=(x1)213 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_ 4 已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x
5、)+x+1,则f(x)=_ 5 设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式 6 设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式 若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值 7 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图 8 已知函数y
6、=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5 (1)证明 f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式 参考答案 1 解析 f(x)= ff(x)=x,整理比较系数得m=3 答案 A2 解析 利用数形结合，x1时， f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1 答案 B3 解析 由f(x)+2f()=3x知f(
7、)+2f(x)=3 由上面两式联立消去f()可得f(x)=x 答案 f(x)= x4 解析 f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0 又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1 故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x 答案 x2+x5 解 利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)= 6 解 (1)设x1,2,则4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为4是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x
8、1)2+4 (2)设x0，1，则2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设A、B坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1,则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，=2t2(2t2)(2t2)()3=,当且仅当2t2=2t2,即t=时取等号 S2即S,Smax= 7 解 (1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由RtABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由RtADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4x,故f(x)的表达式为 f(x
9、)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解 如原题图，当P在线段AB上时，ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1x2时，SABP=ABBP=(x1）；当P在CD上时，即2x3时，SABP=11=；当P在DA上时，即3x4时，SABP=(4x) 故g(x)=8 (1)证明 y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0 (2)解 当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4) (3)解 y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数，可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3, f(1)=k1=k,k=3 当0x1时，f(x)=3x,当1x0时，f(x)=3x,当4x6时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15,当6x9时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25 f(x)= 5
