第四章第3节一元一次方程的应用2

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1、年 级 初一 学 科 数学 版 本 湘教版内容标题 一元一次方程的应用编稿老师【本讲教育信息】一. 教学内容：一元一次方程的应用二. 本周教学目标：1. 理解并掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤与方法，熟悉常见的题型。2. 培养分析实际问题、解决实际问题的能力。三. 教学重点、难点：重点：列一元一次方程解决简单的实际问题。难点：挖掘题目中的等量关系，列出方程。四. 本周教学知识要点：1. 列方程解应用题时，首先要认真审题，明确题目在研究一件什么事，问题涉及些什么量，这些量之间的基本关系是什么，接着要恰当地设出未知数，并把这个未知数看作是已知量“代入”到问题中，把题目中的等量关系表示出来列出方

2、程，然后再解所列方程，检验，作答。2. 列方程解应用题的一般步骤可归纳为：（1）审：审题，分析题中已知什么，未知什么（求什么） ，明确各数量之间的关系。（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。（3）设：设未知数，一般求什么就设什么为 x，但也可以间接设未知数。（4）列：列方程，把相等关系左、右两边的量用含有未知数的代数式或数表示出来。（5）解：解所列方程，求出未知数值。（6）答：检验所求解是否合题中实际意义，是否是所列方程的解，再写出答案。说明：设立未知数时，有设直接未知数（即问题要求的是什么，就设什么作未知数）和间接未知数两种方式，设立恰当的未知数，是为了寻求最简洁的列方程思路，

3、在列方程时，可以借助画草图，列表等方法分析问题，寻找问题中的等量关系时，要切实抓住题目中的关键词语，如“多” “少” “快” “慢” “共有” “提高” “增加” “超过” “减少”等等。3. 列方程解应用题时注意（1）一般情况下，题设的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。（2）列出的方程中两边单位要一致。（3）求出方程的解后，应将未知数的值代入原方程进行检验，检验是否符合题意及解题中是否出现错误。4. 常见的应用问题有：数字问题，行程问题，工程问题，利润问题等。【典型例题】例 1. （数字问题）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个

4、两位数的 1/4，求这个两位数。 分析：这类问题是已知各数位上的数字关系，求两位数、三位数等。这类问题一般设间接未知数，本题的数量关系有：十位上的数字=个位数字3；十位上的数字个位上的数字=这个两位数的 1/4。设个位数字为 x，则十位上的数字为 x3，这个两位数为10(x3)x。解：设个位上的数字为 x，依题意得()()31403解 之 ， 那 么x6答：这个两位数为 36。例 2. （行程问题）甲、乙两人骑自行车，同时从相距 45 千米的两地相向而行，2 小时后 相 遇 ， 已 知 甲 比 乙 每 小 时 多 走 千 米 ， 求 两 人 每 小 时 各 走 多 少 千 米 ？21分析：行程

5、问题主要包括相遇问题和追及问题。数量关系为：路程=速度时间。等量关系：a.相 遇 时 快 者 行 程 慢 者 行 程 两 者 相 距 路 程b追 及 时 快 者 行 程 慢 者 行 程 两 者 相 距 路 程c.相 遇 时 所 用 时 间 两 者 相 距 路 程两 者 速 度 和d.追 及 时 所 用 时 间 两 者 相 距 路 程快 者 速 度 慢 者 速 度这些等量关系都必须在同时出发的情况下成立。例 2 是相遇问题，有 a 种一样的等量关系，由已知设乙每小时走 x 千米，则得甲每小时走（x2.5）千米。解：设乙每小时走 x 千米，依题意得54(.)解 之 ， 则 10215.答：甲每小时

6、走 12.5 千米，乙每小时走 10 千米。例 3. （利润率问题）商品的进价为 2000 元，标价 3000 元，商店要求以利润等于 5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售其商品？分析：利润率问题弄清商品利润和利润率的区别和联系。商品利润=售价进价利 润 率 商 品 利 润商 品 进 价另外，打几折就是按原售价的百分之几十出售，或十分之几出售。此题可设打 x 折出售 ， 则 售 价 为 ， 利 润 为 元 。3010302xx()解：设售货员可以打 x 折出售其商品，依题意得25%x即 3010解 之 x7答：售货员可以打 7 折出售其商品。例 4. （工程问题）一项工程，甲单独做要 8

7、天完成，乙单独做要 12 天完成，丙单独做要 24 天完成。现在甲、乙合作 3 天后，甲因事离开，由乙丙合作，问乙丙还要做几天才能完成此项工程？分析：此类问题的数量关系为：工作量=工作效率工作时间，等量关系为两个或几个工作者完成的工作量之和等于总工作量，常把总工作量看作 1，此例中可知甲、乙、丙的 工 作 效 率 分 别 为 、 、 。 已 知 工 作 时 间 可 求 出 工 作 量 ， 若 设 还 需 天 完1824 x成工程，则甲共做 3 天，乙共做（3x）天，丙做 x 天，甲、乙、丙的工作量分别为。38124、 、解：设乙、丙还需 x 天完成此项工程，根据题意1解 之 3答：乙、丙还需做

8、 3 天才能完成此项工程。注 意 ： 方 程 还 可 列 成 ()()1823124x例 5. （创新题）甲、乙两列火车的长为 144m 和 180m，甲车比乙车每秒多行 4m。（1）两列车相向行驶，从相遇时到全部错开需 9 秒，问两车速度各是多少？（2）若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需多少秒钟？分析：这是一道涉及相遇与追及问题的创新题，关键是弄清甲、乙两车行程间的关系。第（1）题中的等量关系是：甲车行程乙车行程=甲车长乙车长第（2）题中的等量关系为：甲车行程乙车行程=甲车长乙车长解：（1）设乙车速度为 x m/s，则甲车速度为(x+4) m/s依 题 意 得 ：

9、94180()解 之 ， 则x62答：甲车速度为 20m/s，乙车速度为 16m/s。（2）设同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车需 y 秒，依题意得：2016480y解 之 ：答：同向行驶，甲车从追及乙车车尾到全部超过乙车需 81 秒钟。例 6. （决策题）某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种 1500 元/台，乙种 2100 元/ 台，丙种 2500 元/台。若商场同时购进其中两种不同型号电视机共 50 台，用去 9 万元，请你帮助设计一下商场的进货方案。分析：对于决策性问题，要从已有的数据及相互信息，

10、利用数学知识对事件进行分析，从现象中认识本质，建立恰当的数学模型，变为数学问题加以解决，从而作出正确的决策。分别计算购甲、乙型号，乙、丙型号，甲、丙型号电视机方案，不合题意的舍去解：分情况计算：a. 设购甲种电视机 x 台，乙种电视机（50x）台则 ： 150290()解 之 ，5b. 设购甲种电视机 x 台，丙种电视机（50x）台则 ： 150290()解 之 ： ，315c. 设购乙种电视机 x 台，丙种电视机（50x）台则 ： 21090()解 之 ： （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ）875.故商场进货方案有两种，购甲种电视机 25 台，乙种电视机 25 台；或者购甲种电视机35 台，

11、丙种电视机 15 台。【模拟试题】一. 填空：1. 母亲今年 32 岁，女儿 5 岁，_年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。2. 商品原价 500 元，打 9 折后售价为_元，某商品打 8 折后售价为 480 元，该商品原价为_元。3. 某商品标价 800 元，现按九折出售，仍可获利 20%，该商品进价为_元。4. 一项工程，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 16 小时完成，现先由甲单独做 5 小时，余下的由甲、乙合作 x 小时完成，则可列一个方程为_，可算出它们合作的时间 x=_小时。二. 列方程解应用题： 1. 一个两位数十位上的数比个位上的数小 1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/5

12、，求这个两位数。2. 某机关有 A、B、C 三个部门，三个部门的公务员人数依次是 84 人、56 人、60 人。如果每个部门按相同比例裁员，使这个机关留下公务员 150 人，那么 C 部门留下公务员多少人？3. 某同学自编了这样一道应用题：小明家离火车站 2 千米，他的爸爸步行去火车站到北京出差刚走 15 分钟，小明发现他爸爸忘记带身份证，急忙骑自行车去追。已知爸爸每分钟步行 90 米，小明每分钟骑 240 米路程，问小明经过多长时间可追上爸爸？请你判断一下，该同学编的应用题是否符合实际，如不符合，请你帮他修改一下？【试题答案】一. 填空1. 4 2. 450，600 3. 600 4. 52016203x，二. 列方程解应用题1. 解：设个位上的数为 x，则依题意得()()x15014解 之 ， 则答：这个两位数为 45。2. 解：设这个部门按比例 x 留下公务员，依题意得84560153634xCx则 部 门 留 下 （ 人 ）答：C 部门留下公务员 45 人。3. 解：设小明经过 x 分钟可追上爸爸，则依题意得2401590解 之 （ 分 钟 ）但小明 9 分钟路程 米2416而小明离火车站只有 2 千米，在小明家与火车站之间无法追上爸爸，爸爸是否已经坐上火车离开直接关系到最终结论，因此该题不合实际，将小明家到火车站路程改为大于2.16 千米即可。