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1、2009届长沙市一中高三第4次月考试卷学科网数学（理科）学科网命题：长沙一中备课组学科网学科网一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科网1若A = 2，3，4，B = x | x = nm，m，nA，mn，则集合B的元素个数为（ ）学科网A2B3C4D5学科网2已知向量a = (1 sin，1)，b = (，1+sin)，且ab，则锐角等于（ ）学科网A30B45C60D75学科网3双曲线的渐近线与其准线的夹角是（ ） 学科网A30B45C60D120学科网4在ABC中，“cosA = 2sinBsinC”是“ABC为钝角三
2、角形”的（ ）学科网A充分不必要条件B必要不充分条件学科网C充要条件 D既不充分也不必要条件学科网5已知函数y = 2sin() (0)为偶函数，其图象与直线y = 2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2 x1|的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是（ ）学科网ABCD学科网6设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列，则等于学科网A1 B2 C3 D4学科网7设a = sin13 + cos 13，b =，c =，则a，b，c的大小关系为（ ）学科网AbcaB.acbCcab Dcba学科网8在R上定义一种运算：xy = x (1 y)若不等式(x a
3、)( x + a)1对任意实数x成立，则（ ）学科网AB0a2C1a1 D学科网9 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）学科网ABC D 学科网10定义在R上的函数f (x)的图象关于点(，0)成中心对称，对任意的实数x都有f (x) = f (x +)，且f (1) = 1，f (0) = 2，则f (1) + f (2) + f (3) +f (2008)的值为（ ）学科网A2B1C0D1学科网第II卷学科网二、填空题：本大题共5小组，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.学科网11已知符号函数sgn
4、x =则不等式(x + 1)sgn x2的解集是 学科网12已知点P(x，y)的坐标满足条件，那么的最大值等于 ，最小值等于 学科网13如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy = 60，该平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若（其中、分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量），则P点的斜坐标为 (x，y)若P点的斜坐标为(3，4)，则点P到原点O的距离|PO| = 学科网14如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右算第9个数字为 学科网
5、15已知函数f (x) =（a是常数且a0），对下列命题：学科网函数f (x)的最小值是1；函数f (x)在R上存在反函数；学科网对任意x10，x20且x1x2，恒有f ()；学科网对任意的x1，x22，0且x1x2，恒有|f (x1) f (x2)|t|x1 x2|(tR)成立，t的最小值是e2，其中正确命题的序号是 学科网三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.学科网16(本题满分12分)向量a = (cosx + sinx，cosx)，b = (cosx sinx，sinx)，f (x) = ab学科网（1）求函数f (x)的单调区间；学科网（2）若
6、2x2 x0，求函数f (x)的值域学科网17(本题满分12分)定义在R上的单调函数f (x)满足f (3) = log23且对任意x，yR都有f (x + y) = f (x) + f (y)学科网（1）求证f (x)为奇函数；学科网（2）若f (k3x) + f (3x 9x 2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围学科网18(本题满分12分)将圆x2 + y2 + 2x 2y = 0按向量a = (1，1)平移得到圆O，直线l和圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使，且=a学科网（1）求的值；（2）求弦AB的长；（3）求直线l的方程学科网F1AF2l19(本题满分13分)边界为椭
7、圆形的某运动场（如图所示），椭圆的左右焦点学科网分别为F1，F2，椭圆上的点到焦点F2的最小距离为学科网10米，椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；学科网在运动场的右侧，有一条与F1F2垂直的目标线l，学科网p它与F2的距离为22.5米，运动员体能训练时，要求从F2的正北方0米处一定点A出发，在椭圆的内外折返快速奔跑，在椭圆的内部是草坪（软地）外部是塑胶跑道。已知某运动员在椭圆内、外奔跑速度之比为: 5，在草坪的奔跑速度为m/s，现要求从点A出发，沿任何方向到达目标线l上，求所需的最短时间t学科网20(本题满分13分)如图，过定点M(p，0) (p0)的直线l与抛物线y2 = 2px (p0)相
8、交于A、B两点学科网（1）证明：A、B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线x = p上的任一点，问三条直线AN、MN、BN的斜率之间是否存在某等量关系，若存在，试写出该等量关系式，并给出证明；若不存在，说明理由。学科网21(本题满分13分)设数列an，bn满足a1 =，2nan+ 1 = (n + 1)an，且bn = ln(1 + an) +，nN*学科网（1）求数列an的通项公式；（2）对一切nN*，证明成立；学科网（3）记数列，bn的前n项和分别为An，Bn，证明2Bn An4学科网学科网学科网学科网学科网长沙市一中高三数学第四次月考答案学科网学科网1B学科网2【解析】B 由ab
9、可得(1 sin) (1+sin)= 0，即cos=，而是锐角，故= 45学科网3【解析】C 双曲线的渐近线方程y =，准线方程x =，故夹角是60学科网4【解析】A 2sinBsinC = cosA = cos(B + C) = cos(B + C) = sinBsinC cosBcosC，即cos(B C) = 0，于是B C =，则ABC为钝角三角形，反之不成立，如取A = B =，C =时，cosA2 sinBsinC故选A学科网5【解析】A 由已知条件可知，且这个函数的最小正周期为，从而= 2，于是原函数为y = 2cos2x，可求其单调增区间为k(kZ)，对k取值可知A符合题意，故
10、应选A学科网6C学科网7B学科网8A学科网9【解析】D 双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2 =，选D学科网10【解析】D 函数f (x)的图象关于点(，0) 成中心对称，得f (x) + f () = 0，又f (x) = f (x +)，于是f (x)是偶函数，且f (x) = f (x +) = f (x + 3)，即3是函数f (x)的周期，f (1) = 1 = f (2) = f (1) = f (4)，f (0) = 2 = f (3)，学科网f (1)+= f (1) = 1故选D
11、学科网11【解析】x | x3或x1 当x0时，sgn x = 1，不等式的解为x1；当x = 0时，sgn x = 0，不等式无解；当x0时，sgn x = 1，不等式的解为x3，所以不等式(x + 1)sgn x2的解集为x | x3或x1学科网12，学科网13【解析】由点的斜坐标的定义可知，学科网，学科网，即，即点P到原点O的距离|OP| =学科网14【解析】2008 由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的一个数是，从左至右的第9个数应是2016 9 = 2008学科网15学科网16【解析】（1）f (x) = ab = (cosx + sinx，cosx)(cos
12、x sinx，sinx)学科网= cos2x + sin2x =sin (2x +)分学科网由(kZ)，解得(kZ)分学科网由(kZ)，解得(kZ)分学科网函数f (x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)分学科网（2）2x20，0x分学科网由（1）中所求单调区间可知，当0x时，f (x)单调递增；当x时，f (x)单调递减分学科网又f (0) = 1f () = 1，1 = f ()f (x)f () =学科网函数f (x)的值域为分学科网17【解析】（1）f (x + y) = f (x) + f (y) (x，yR) 学科网令x = y = 0，代入式，得f (0 + 0)
13、= f (0) + f (0)，即f (0) = 0分学科网令y= x，代入式，得f (x x) = f(x) + f (x)，又f (0) = 0，则有0 = f (x) + f (x)学科网即f (x) = f (x)对任意xR成立，所以f (x)是奇函数分学科网（2）f (3) = log230，即f (3)f (0)，又f (x)在R上是单调函数，分学科网所以f (x)在R上是增函数，又由（1）知f (x)是奇函数学科网f (k3x)f (3x 9x 2) = f (3x + 9x +2)，k3x3x + 9x +2，分学科网对任意xR成立分离参数得k3x +分学科网令u =3x +，即u的最小值为，要使对xR不等式k3x +恒成立，只要使k分学科网18【解析】（1）圆x2 + y2 + 2x 2y = 0按向量= (1，1)平移，得到圆O：x2 + y2 = 2，所以半径r =| = |a | =，即| a | =，=1学科网（2）取AB中点D，连结OD，由可得，学科网，又ODAB，AB =学科网（3）当=1时，= (1，1)，设D点坐标为(x，y)，则，又直线AB的斜率kAB = = 1AB的方程为x y +1 = 0同理当= 1时，AB的方程为x y -1 = 0
