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1、长沙市一中2009年高考第一次模拟考试理科数学时量 150分钟 满分 150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。各小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）1已知集合A = (x，y)|y =x2，xR，B = (x，y)|y =x，xR ，则AB中的元素个数为（ ）A0个B1个C2个D无穷多个2已知是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q = ( ) A. B. C.2 D.13点（tan2009，cos2009）位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知数列an的通项公式an =(nN*)，设数列an的前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（ ）A有最
2、大值63B有最小值63C有最大值31D有最小值315若对于任意的实数x，有x3 = a0 + a1(x 2) + a2 (x 2)2 + a3 (x 2)3，则a2的值为（ ）A3B6C9D126球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4,则此球的体积为（ ）AB C D7已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e，且|PF1| = e|PF2|，则e的值为（ ）ABCD8设函数f(x) =，x表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x) + +f(x) +的值
3、域是（ ）A3B3，4C2，3D4二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。将各题的最后结果写在题答卷对应的横线上。）9已知a为实数数，则的值为 10已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB =2，AC =3，则sinC的值是_11若不等式对于任意的恒成立，则实数a的取值范围为_12将三种农作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种农作物，同一种农作物种在相邻的试验田中，不同的种植方法有 13把正奇数数列1，3，5，7中的数按上小下大，左小右大的原则排成如下三角形数表xyOB(1,1)A(3,2)C(1,3)请判断2009是该三角形数表中第 行的第 个数14给出平面阴影区
4、域（包括边界）如图所示（）要使目标函数z = ax + y取得最大值的最优解有无穷多个，则a的取值为_（）要使目标函数z = ax + y取得最大值的最优解有且仅有一个点A(3，2)，则a的取值范围 _15一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序。当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为；当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一结果的倍。则（i）当从A口输入3时，从B口得到_;(ii)要想从B口得到，则应从A口输入自然数 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知向量，f(x) =（）求函数y = f(x)
5、的单调区间；（）已知g (x) = 2sin2x + 1，将函数y = g (x)的图象按向量平移后得到函数y = f(x)的图象，求|的最小值17（12分）某单位小会议室里的3只白炽灯泡已坏，电工李师傅前往会议室更换。若所带灯泡包装盒中共有6只灯泡（外观形状完全一样），其中4只好的，2只坏的。李师傅每次随机从包装盒中任取一只（每只被取的概率相同），若取出的灯泡是好的，则将其更换小会议室已坏的灯泡，若取出的灯泡是坏的，则不再放回包装盒，也不能用它更换小会议室已坏的灯泡（）求李师傅第二次所取的灯泡是好的的概率；（）设李师傅全部更换了小会议室的3只已坏灯泡时，从包装盒中所取灯泡次数为，求的分布列和
6、期望DABCE18（12分）在如图所示的多面体中，底面ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1（）求点A到平面BDE的距离； （）求二面角BEDA的正切值19（13分）长沙市年嘉湖隧道的开通，既缓解了车站北路与营盘东路之间的交通压力，也缩短了交通时间，但为了交通安全，市交通部门对隧道内行驶的车辆作如下规定：最高时速不超过60公里/小时；行使车辆之间的车距d是车速v（公里/小时）的平方与车身长s（米）的积成正比，比例系数为k(k0);按的要求行驶，若车距小于车身长的一半时,则规定车距为。现假定车辆的车身长约为s米，当车速为50km/小时时，车距恰好为
7、该车的车身长。（）试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）；（）问应按怎样的车速，才能使车流量Q =最大20（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点Q在椭圆C上且满足条件：= 2， 2（）求椭圆C的方程；（）设A、B为椭圆上不同的两点，且满足OAOB，若(R)且，试问：是否为定值若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。21（13分）已知函数f (x) = lnx，g (x) =(a0)，设F(x) = f (x) + g (x)（1）求函数F(x)的单调区间；（2）若点为函数的图象上任意一点，当时，点P处的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；（3）是否
8、存在实数m，使得函数y = g() + m 1的图象与函数y = f (1 + x2)的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由答案题号12345678答案CADBBDAB9.-i 10. 11. 12. 36 13. 45 15 14. 15. 16（12分）【解析】（）f(x) =4分解不等式(kZ)得x(kZ)解不等式(kZ)得x(kZ)6分所以函数y = f(x)的单调增区间是(kZ)，单调减区间是(kZ)7分）（）函数y = g(x)按向量= (h，k)平移后，得到函数y = 2sin2(x h) + 1 + k = 2sin(2x +)9分 11分当
9、n = 0时， 12分17（12分）【解析】（）李师傅第一次所取灯泡是好的，第二次所取灯泡也是好的的概率P1 =；李师傅第一次所取灯泡是坏的，第二次所取的灯泡是好的的概率P2=；所以李师傅第二次所取的灯泡是好的的概率为P1 + P2 = 4分（）= 3，4，5 5分P，P，P（只考察坏灯泡的组合情况）9分345P所以的分布列为10分期望E=12分18（12分）【解析】（）DE = BE =，BD =，DABCESBDE =，设点A到平面BDE的距离为h又SABC =，VDABC = VABDE h =即点A到平面BDE的距离为 6分（）DA平面ABC，平面DACE平面ABC取AC的中点M，连结
10、BM，则BMAC，BM平面DACE过M作MNDE，交DE于N，连结BN，则BNDE，ACMPENDBNM是所求二面角的平面角设AC、DE的延长线相交于点P，DA = 2EC，CP = 2由MNPDAP得，MP = 3，DA = 2DP =，MN =又BM =，tanBNM = 12分应用空间向量求解参照计分 19（13分）【解析】（）依题意可得d = kv2s当v = 50时，d = s，解得k =，d =v2s 3分当d =时，解得v = 25 4分所以d关于v的函数关系式是：d = 6分（）当0v25，取v =25时，Q的最大值为； 8分当25v60时，Q =当且仅当v = 50时取等号
11、11分又 12分按50km/小时的速度行驶，车流量大 13分20（13分）【解析】（）设椭圆方程为，e =，a = 2c，又2 cosF1QF2 =由|F1F2|2 = |QF1|2 + |QF2|2 2|QF|QF2|cosF1QF2得a = 2，c = 1，b2 = 3椭圆C的方程为 5分（）依题意可知，点M为由点O向直线AB所作的垂线的垂足设A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）当x1 = x2时，直线OA、OB的斜率分别为1，解方程组得x = 6分（2）当x1x2时，设AB的直线方程为：y = kx + m，代入得(3 + 4k2)x2 + 8mkx + 4m2 12 = 0x1 +
12、 x2 =，x1x2 = 8分，=7m2 = 12 (k2 + 1) 11分又综上所述 13分21（13分）【解析】（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x0)，F(x) =a0，由F(x)0x(a，+)，F(x)在a，+)上单调递增由F(x).0x(0，a)，F(x)在(0，a上单调递减F(x)的单调递减区间为(0，a，单调递增区间为a，+) 3分（2）F(x) =，k = F(x0) =(0x03)恒成立，当x0 = 1时，取得最大值a，amin = 6分（3）若y = g+ m 1 =x2 + m 的图象与y = f (1 + x2) = ln(x2 +1)的图象恰有四个不同的交点，即有四个不同的根，亦即m = ln(x2 + 1) x2 +有四个不同的根令G(x) = ln(x2 + 1) ，则G(x) = x =当x变化时，G(x)、G (x)的变化情况如下表：x(，1)(1，0)(0，1)(1，+)G(x)的符号+G (x)的单调性
