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1、2012届南通市数学学科基地密卷(一)数 学I注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用05毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的
2、圆珠笔一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答卷纸的相应位置上1 ,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 2.已知全集，集合，则中最 大的元素是 3已知，若函数的最小正周期是2, 则 4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: While 10End WhilePrint “”5已知函数，则的单调减区间是 6在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：的概率为 7P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为： 8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是 (1)若m,n,则mn， (2)若则(3
3、)若，且，则；(4)若，则9. 定义在上满足:，当时，=，则= 10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时 11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个 数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，则第行第3个数字是 12. 已知正方形的坐标分别是,，动点M满足： 则 13. “”是“对正实数，”的充要条件，则实数 14.函数的定义域为,若满足在内是单调函数,存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，
4、证明过程或演算步骤15(本题满分14分) 已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意xR，都有f (x) = f (2x)成立，设向量= ( sinx , 2 ) ，= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，（）求函数f (x)的单调区间；（）当x0,时，求不等式f ()f ()的解集.16(本题满分14分)在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；()求多面体的体积. 17(本题满分14分) 已知双曲线的两焦点为，为动点，若（）求动点的轨迹方程；（）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定
5、直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由18(本题满分16分) 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为（1）设CA1O = (rad)，将y表示成的函数关系式；（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。BA1A2COA319(本题满分16分) 已知，数列有（常数），对任意的正整
6、数，并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。20(本小题满分16分) 已知函数(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式对一切都成立，求范围；(3)某同学发现：总存在正实数使，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出的范围；不正确说明理由数学（附加题）23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极
7、点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.二必做题 每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.（）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？PNMABC（）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.4. 已知数列满足：.（）求证：使；（）求的末位数字.数学参考答案1. 2. 3 3.1 4. 28 5.6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为7. 解析：焦点=,而
8、的最小值是 8. (3) (4) 9.2 10当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，则，计算得= 11. ， 12.设点的坐标为， 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以13. 若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。14.由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得15解；（1）设f(x)图象上的两点为A(x,y1）、B(2x, y2），因为=1 f (x) = f (2x)，所以y1= y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，x1时，f(x)是增函数 ；x1时，f(x)是减函数。（2）=（sinx，2）（2s
9、inx, ）=2sin2x11，=（cos2x，1）(1,2)=cos2x21，f(x)在是1，+）上为增函数，f ()f ()f(2sin2x1) f(cos2x2) 2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2 cos2x02k2x2k,kzkxk, kz 0x x综上所述，不等式f ()f ()的解集是： x|x 。16解：()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 平面，平面，平面. ()证明：平面，平面， 又，平面，平面. 过作交于，则平面.平面， . ，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， 又平面，平面,平面. 平面, . () 平面，平面， 由（2）知
10、四边形为正方形，. ， 17解法一：（）由题意知：，又，动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，又，椭圆的方程为（）由题意，可设直线为： 取得，直线的方程是直线的方程是交点为若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上事实上，由，得即，记，则设与交于点由得设与交于点由得，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上解法二：（）同解法一（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上事实上，由，得即，记，则的方程是的方程是消去得以下用分析法证明
11、时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立这说明，当变化时，点恒在定直线上解法三：（）同解法一（）由，得即记，则的方程是的方程是由得即这说明，当变化时，点恒在定直线上18. （）解：在COA1中，BA1A2COA3， 2分=（）7分（）， 令，则 12分当时，；时，在上是增函数当角满足时，y最小，最小为；此时BCm 16分19解：（1）由已知，得， （2）由得则，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。 （3）；由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。20（1）定义域 在递增，递减（2）由题 时， 时， 时，数学（附加题）参
12、考答案1解：矩阵M的特征多项式为=.令得矩阵M的特征值为1和3 .当所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为.当所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.2解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.当时，当时，.3解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，平面ABC的一个法向量为则 （*）于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，.（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由得 ，解得.令于是由，解得的延长线上，且.4解：当假设当则当时，其中.所以所以；（2），故的末位数字是7.12用心 爱心 专心
