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1、新课标人教版课件系列 高中数学 选修2 2 1 4 生活中的优化问题举例 教学目标 掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点 掌握导数生活中的优化问题问题中的应用 问题背景 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品 若它们的价格如下表所示 则 1 对消费者而言 选择哪一种更合算呢 2 对制造商而言 哪一种的利润更大 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知在不考虑瓶子的成本的前提下 每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 则每瓶饮料的利润何时最大 何
2、时最小呢 减函数 增函数 解 每个瓶的容积为 每瓶饮料的利润 极小值 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知在不考虑瓶子的成本的前提下 每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 则每瓶饮料的利润何时最大 何时最小呢 解 设每瓶饮料的利润为y 则 减函数 增函数 f r 在 0 6 上只有一个极值点 由上表可知 当r 2时 利润最小 极小值 解 设每瓶饮料的利润为y 则 当r 0 2 时 答 当瓶子半径为6cm时 每瓶饮料的利润最大 当瓶子半径为2cm时 每瓶饮料的利润最小 28 8
3、p 故f 6 是最大值 减函数 增函数 极小值 而当r 2 6 时 例2 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小 2dm 2dm 1dm 1dm 解 设版心的高为xdm 则版心的宽dm 此时四周空白面积为 减函数 增函数 极小值 列表讨论如下 S x 在 0 上只有一个极值点 由上表可知 当x 16 即当版心高为16dm 宽为8dm时 S x 最小 答 当版心高为16dm 宽为8dm时 海报四周的空白面积最小 练习
4、 经统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 若已知甲 乙两地相距100千米 I 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油为升 II 若速度为x千米 小时 则汽车从甲地到乙地需行驶小时 记耗油量为h x 升 其解析式为 III 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 17 5 练习 经统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 若已知甲 乙两地相距100千米 III 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少
5、最少为多少升 解 设当汽车以xkm h的速度行驶时 从甲地到乙地的耗油量为h x L 则 练习2 已知某厂每天生产x件产品的总成本为 若受到产能影响 该厂每天至多只能生产800件产品 则要使平均成本最低 每天应生产多少件产品呢 解 设平均成本为y元 每天生产x件产品 则 练习2 已知某厂每天生产x件产品的总成本为 变题 若受到产能的影响 该厂每天至多只能生产800件产品 则要使平均成本最低 每天应生产多少件产品呢 函数在 0 1000 上是减函数 答 每天生产800件产品时 平均成本最低 解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示 小结 在日常生活中 我们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省 利润最大 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 作业 课本P40A组第2题 再见
