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1、奥数知识点汇总（初二）第一章 有理式1、因式分解：常用方法有：（1）提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法；（2）换元法：换元法就是在一个比较复杂的代数式中，根据其特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的字母（新元）代替，从而使这个代数式的结构简化，便于分解。（3）配方法：即利用拆添项法配成完全平方式。（4）待定系数法：将一个已知的多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出几个含有待确定系数的方程（组），解这个方程（组）得出待定系数，或者从方程组中消去这些待定的系数，求出原来那些已知系数间所存在的关系，从而把问题解决。（5）双十
2、字相乘法：（6）拆添项法：（7）因式定理：我们将x的一元n次多项式记为f(x)，即，并记当x=a时，多项式f(x)的值为f(a)。余数定理多项式f(x)除以xb所得的余数等于f(b)。因式定理如果x=b时多项式f(x)的值为零，即f(b)0，则f(x)能被xb整除（即f(x)含有xb的因式。（8）综合除法求多项式除以xb的商和余数。先用一般的除法计算：所以商式是，余式是。把演算简化如下：这里，第一行是被除式按降幂排列时的各项系数，如果有缺项，必须用零补齐，移下第一个系数乘b，加上第二个系数，依次进行，算得得第三行就是商式各项得系数及余数。用这种算式进行除法叫综合除法。被除式不是二次时，综合除法
3、同样适用。（9）对称式与轮换对称式：一个含有多个字母的式子，如果将任意两个字母互换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的对称式。如x+y+z，xy+yz+xz都是关于x、y、z的对称式。一个含有多个字母的式子，如果将所有的字母依次替换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的轮换对称式。如x+y+z，xy+yz+xz都是关于字母x、y、z的轮换对称式。注意：对称式一定是轮换对称式，轮换对称式却不一定是对称式。例如，虽然是轮换式，但是如果把x、y互换，那么就有。显然，所以不是对称式。容易证明，两个对称式（或轮换式）的和、差、积、商仍为对称式（或轮换式）。2、分式的变形与求值：常用方法有：比例
4、性质（如设连比值为k或），拆项，倒数的性质，配方法，加减消元，代入消元等。3、代数式的恒等证明：由于等式的形式是多种多样的，所以等式的证明也有所不同，必须根据所证等式的具体情况进行具体分析。一般有这么两种等式：一种是无条件恒等式，另一种是条件等式。例如两个分式和，恒等记为,当且仅当且时上式成立，根据这个定义，分式恒等式的证明，可转化为多项式的恒等证明。有的可用恒等定理。恒等定理等式两边都是关于某一字母的n次多项式，取此字母的n+1个不同的值代入两边，如果所得的值都相等，则原式是恒等式。常用方法有：比较法，恒等定理，拆项求和法等。4、条件等式：代数条件等式的证明，关键在于找出条件与结论之间的联系
5、。有的需要将条件直接代入到结论中，有的从条件出发推出结论，但主要途径是灵活运用恒等变换。常用方法有：利用分数的基本性质，构造条件或结论中的式子；利用公式变形；因式分解；消元法（就是又一些元素之间的等量关系，通过n次恒等变换，消去其中某些元素而得出其他一些元素间的等量关系的解题方法。）第二章 根式与指数式1、实数与算术平方根：有理数和无理数统称实数。有理数是可以用分数表示的数（其中m、n互质且n0）,或者说有理数可以写成有限小数或循环小数的形式。无理数是不能用分数（包括分母为1的情形）表示的数，它只能表示为无限不循环小数。根据数的四则运算知识，有理数与无理数的代数和、乘积、商（积和商中的有理数一
6、般不为零）其结果是无理数。当证明一个数或一个代数式为无理数或无理式时，常用方法是反证法。比较两数大小常用方法有：作差法；作商法；分子有理化法；分母有理化法；找中间值法；放缩不等式法；平方法；配方法等。2、二次根式的化简：常见题型及常用方法：（1）分母有理化：关键是寻求分母的有理化因式，通常是在根式中运用乘法公式，或根据分母的特性找出一般规律，由一般规律化简，得出简单结论，即从一般项入手寻求解题规律。如：（2）恒等式证明：常用方法有从一般到特殊的方法；分解因式法等。（3）求代数式的值：常用方法有：整体代入法；换元法及恒等变形等。3、复合二次根式：复合二次根式的化简公式： 说明：当是完全平方数时，
7、便可用上面公式，把复合二次根式化简为两个简单的二次根式的代数和的形式，但复合二次根式的化简也可以利用配方法，即将被开放数配成两数和或两数差的完全平方，然后去掉外层根号。对有的题目来说，配方法比公式法更简便，有的还可以用待定系数法，设被开方数为两个简单根式、的和或差的完全平方，然后由待定系数法求出x、y。常用方法有：公式法；配方法；待定系数法；整体代入法；换元法；4、非负数：实数平方的非负性，即对任何实数a，都有。这是一条基本性质而重要的性质，另外根据绝对值的定义，非负数还可以表示为，根据算术根的定义，非负数的二次算术根仍是非负数，即时，并且非负数又有如下性质：（1）有限个非负数之和为非负数；（
8、2）非负数与正数之和为正数；（3）有限个非负数和为零，则每一个非负数都为零。常用方法有：配方法；分类讨论法；碰到绝对值多数情况下用零点分段法。5、指数式：； 及指数运算法则：正整数指数幂的运算法则（m、n是正整数）有理指数幂的运算法则（m、n有理数a0，b0） 1（a0，mn） 在初中数学竞赛中，我们经常见到很多利用指数的性质及数论等有关问题，解决这些问题常用技巧和方法有：将指数统一，比较底数；利用作商法；平方法；利用公式法；利用分数指数幂的方法；配方法；特殊值法。第三章 三角形与四边形三角形是简单的封闭图形，是我们今后研究一些复杂图形的基础。三角形的研究一般包括三角形形状、大小、六个基本元素
9、的关系（包括边角间的等式与不等式）以及中线、高线、角平分线位置特征与长度、角度计算。三角形研究的另一个重要方面是两个三角形之间的关系，它们只有在特殊的情况下，才能形状、大小都一样，此时的两个三角形可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之重合。与三角形定义类似，可以得到多边形的定义。过多边形的一个顶点引（n3）条对角线就可以得到（n2）个三角形，对于四边形的研究也是在三角形的基础上，三角形、四边形通称直线形。1、等腰三角形与直角三角形：一、等腰三角形的性质和判定为证明同一个三角形的两角或两边相等提供了捷径。掌握三角形的性质和判定后再证明角相等或边相等，可以不依赖全等三角形。等腰三角形“三线
10、合一”定理应用非常广泛。另在应用等腰三角形性质和判定时，常添的基本辅助线是：（1）连结两点，得到等腰三角形；（2）截取或延长得到一条线段，使它等于已知线段，构成等腰三角形（推证同一三角形中“大边对大角”时，就是应用了这种方法）；（3）在大角内做出一部分等于小角；（4）作等腰三角形顶角平分线（或底边中线和高线）；在初中竞赛中经常涉及到一些求角度问题，在此可利用“余角、外角、补角”这些极易忽略的概念，这些恰是解题的关键。特别是等腰三角形的一底角顶角。二、直角三角形有以下性质：（1）直角三角形中两个锐角互余；（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半（反之亦然）。（3）
11、直角三角形斜边中线等于斜边的一半。常用方法有：利用三角形内角和及平角180，等腰三角形的分类可以以顶角的顶点分类或以两边相等进行分类；凡是证角的倍分问题一般把大角分成两个小的等角，再证其中的一个和要求证的小角相等；利用对称性解题；记住下面的基本图形和结论：BFAH,HEAB。可以得到：12；2、全等三角形：全等三角形涉及的是两个三角形的合同关系。“对应”的思想贯穿全等三角形的始终。掌握全等三角形要抓住对应边所对的角是对应角，全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角。我们用纸板拼出由两个全等三角形组成的基本图形：先把两个全等三角形重合在一起，然后将其中一个做平移、翻折、
12、旋转等变换，根据给的条件准确找出对应的边和对应的角。全等三角形的应用是证明线段或角相等的重要工具之一。另外，在造全等三角形中还有以下两条规律：（1）遇到三角形有一边中线，那么倍增中线造全等；（2）遇到三角形有角的平分线，那么翻折造全等。（有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等。以上这两句话都是正确的。以下这两句话都是错误的：有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等、有两边和其中一边上的高对应相等，那么第三边所对的角相等。）当要证的三条线段不在一个三角形中，需通过全等倒在一个三角形中，然后用两边之和大于第三边证明
13、。要证线段的和差问题，一般采用“截长法”或“补短法”；3、平行四边形：平行四边形的概念和性质是以平行线和全等三角形为基础的。平行四边形的问题，并不都是以求证某一四边形的形式出现，更多的是以求证线段相等、角相等、线平行、线段的互相平分等形式出现。这时应灵活地根据已知条件，善于挖掘隐含条件。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，一定要搞清它们之间的内在联系。在历届初中数学竞赛题中涉及到平行四边形的题也不少，我们在熟悉掌握三角形这一章的各种证题方法的基础上，结合特殊四边形本身具有的特殊属性，进行综合分析、解题。常用方法有：对称性；截长补短法；旋转法；翻折法等。4、梯形：处理梯形问题常用到下述辅助线，
14、其实质是将梯形转化为三角形（特别是直角三角形）或平行四边形。 研究梯形问题最引入注目的是中位线和面积问题，因为涉及的知识面较广。5、平移、对称和旋转：运动的基本形式是平移和对称，它们共同的特点是运动前后保持距离不变，同时也保持夹角不变、面积不变、点的共线性不变、线的共点性不变。一句话，图形经过运动得出与自身全等的图形。用运动的观点来解决几何问题的基本做法是把图形的全部或一部分作平移或对称，使条件与结论的联系更加明显，使辅助线的思考更加集中而自然，同时也使解题过程变得简捷而有趣。在几何证明题中，常常选择某直线为对称轴，把不是轴对称图形通过对称变换补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过对称变换反射
15、到另一侧，以实现条件相对集中。为此我们可先设法将图形补齐。对称变换一般有如下规律：图中有垂线、角平分线时，往往以垂线、角平分线为轴翻转180，得到等腰三角形或全等三角形。一般平移变换有如下规律：题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的因素，又需将有关的线段与角相对集中时，可以采用平移变换，因为应用平移变换，可以在保持角的大小不变，角的方向不变的情况下移动位置，而使图中诸元素之间联系变得明显。证两个角相等，而这两个角所在的三角形又不可能全等，所以，通过平移变换把不在一个三角形中的两个角移到一个三角形中去，有中点，根据中位线的规律，遇中点配中点，连点添边中位线。另“遇到和差就截延”的规律。一般旋转变换的关键是选好旋转中心和旋转角，若旋转角是180时，是中心对称变换，它与我们学过的“中心对称”的概念有联系。一般遇等边三角形，常把旋转角度与等边三角形内角60一致，以达到目的。很自然想到，在正方形的条件下，我们对旋转角的选择一般应是90。6、面积与勾股定理：面积知识不但有很大的实用价值，而且有证明线段相等及求和差的一
