《高中数学导数的应用课件苏教选修.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数的应用课件苏教选修.ppt（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数的应用 一 复习目标 理解极大值 极小值 最大值 最小值的概念 并会用导数求多项式函数的单调区间 极值及闭区间上的最值 会利用导数求最大值和最小值的方法 解决某些简单实际问题 二 重点解析 4 用f x 0的根将f x 的定义域分成若干个区间 列表考查各区间上f x 的符号 进而确定f x 的单调区间 注意若f x 在 a b b c 单调递增 减 且f x 在x b处连续 则f x 在 a c 单调递增 减 1 利用导数判断单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求f x 0的根 2 求函数极值的步骤 3 检查上面求出的x的两侧导数的符号 如果左正右负 那么f x
2、在该点处取极大值 如果左负右正 那么f x 在该点处取极小值 1 求导数f x 2 求出f x 0或f x 不存在的所有的点 3 连续函数f x 在 a b 上有最大值和最小值 求最值的一般步骤 4 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数 把 问题情景 译为数学语言 找出问题的主要关系 并把问题的主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 再化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 1 求极值 2 把极值和f a f b 相比较 最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 函数的单调性 三 知识要点 1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则y f x
3、 为增函数 如果f x 0 则y f x 为减函数 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 在该区间单调递增 或减 则在该区间内f x 0 或f x 0 注当f x 在某个区间内个别点处为零 在其余点处均为正 或负 时 f x 在这个区间上仍旧是单调递增 或递减 的 例f x x3在 1 1 内 f 0 0 f x 0 x 0 显然f x x3在 1 1 上仍旧是增函数 极大值与极小值统称为极值 是函数f x 的一个极小值 记作 y极小值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 就说f x0 2 函数极值的定义 设函数f x 在点x0及其附近有
4、定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作 y极大值 f x0 3 判断f x0 是极值的方法 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 4 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 3 求方程f x 0的根 5 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 例如f x x x 1
5、 1 6 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求导数f x 4 检查f x 在方程f x 0的根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 典型例题1 已知函数f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数 求a的取值范围 解 由已知 f x 3ax2 6x 1 而3ax2 6x 1 0 x R 当f x 0 x R 时 f x 是
6、减函数 由y x3在R上为增函数知 a 3时 f x x R 是减函数 a 3 又当a 3时 f x 3x3 3x2 x 1 当a 3时 在R上存在一个区间 其上有f x 0 当a 3时 f x 不是减函数 综上所述 a的取值范围是 3 典型例题2 求下列函数的最值 1 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解 1 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 1 0恒成立 f x 在 1 1 上单调递增 f x min f 1 12 f x max f 1 2 2 y 3x2 3 令y 0 得x 1或1 当x 1时 ymin 1 典型例题3 已知a为实数 f x x2
7、4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 3 若f x 在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 解 1 由已知f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 2ax 4 f x 3x2 x 4 3 f x 的图象为开口向上的抛物线且过点 0 4 由题设得f 2 0且f 2 0 8 4a 0且8 4a 0 2 a 2 故a的取值范围是 2 2 典型例题4 又f x 的图象过点P 0 1 此时f x ax4 cx2 1 偶函数f x ax4 bx3 cx2 dx e的图象过点P 0 1 且在x 1处的切线方程为y x 2 1 求y f x
8、的解析式 2 求y f x 的极大 小 值 函数在x 1处的切线方程为y x 2 切线的斜率为1 解 1 f x 是偶函数 b d 0 e 1 f x 4ax3 2cx 1 f 1 4a 2c 即4a 2c 1 切线的切点在曲线上 a c 1 1 典型例题4 由f x 0得 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解 2 由 1 知 f x 10 x3 9x 当x 0时 f x 极大值 1 极小值 极大值 极小值 偶函数f x ax4 bx3 cx2 dx e的图象过点P 0 1 且在x 1处的切线方程为y x 2 1 求y f x 的解析式 2 求y f x 的极大 小 值 典型例题5
9、 设t 0 点P t 0 是函数f x x3 ax与g x bx2 c的图象的一个公共点 两函数的图象在点P处有相同的切线 1 用t表示a b c 2 若函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 求t的取值范围 解 1 函数f x 的图象过点P t 0 f t 0 t3 at 0 t 0 a t2 又 函数g x 的图象也过点P t 0 g t 0 bt2 c 0 c ab 两函数的图象在点P处有相同的切线 f t g t 而f x 3x2 a g x 2bx 3t2 a 2bt 将a t2代入上式得b t c ab t3 综上所述 a t2 b t c t3 2 方法一 y f x g
10、 x x3 tx2 t2x t3 y 3x2 2tx t2 3x t x t 当y 3x t x t 0时 y f x g x 为减函数 函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 t 3或t 9 t的取值范围是 9 3 2 方法二 y f x g x x3 tx2 t2x t3 y 3x t x t 函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 y 3x t x t 的图象是开口向上的抛物线 y 3x t x t 0对于x 1 3 恒成立 则y x 1 0且y x 3 0 即 3 t 1 t 0且 9 t 3 t 0 解得t 3或t 9 t的取值范围是 9 3 典型例题6 已知函数f
11、x ax3 cx d a 0 是R上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间和极大值 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 1 解 函数f x 是R上的奇函数 f x f x 即 ax3 cx d ax3 cx d对x R恒成立 d 0 f x ax3 cx f x 3ax2 c 当x 1时 f x 取得极值 2 f 1 2且f 1 0 a c 2且3a c 0 a 1 c 3 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 在 1 上是增函数 当x 1时 f
12、 x 取得极大值f 1 2 故函数f x 的单调递减区间是 1 1 单调递增区间是 1 和 1 f x 的极大值为2 典型例题6 已知函数f x ax3 cx d a 0 是R上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间和极大值 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 2 证 由 1 知f x x3 3x在 1 1 上是减函数 且f x 在 1 1 上的最大值M f 1 2 f x 在 1 1 上的最小值m f 1 2 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 3 依题意得
13、 f 1 f 1 0 解得a 1 b 0 3a 2b 3 0且3a 2b 3 0 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 课后练习1 已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大值还是极小值 2 过点A 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 2 由 1 知f x x3 3x 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 在 1 上是增函数 f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 点A 0 16 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则y0 x03 3x0 f x0 3x02 3 切线方程为y
14、x03 3x0 3x02 3 x x0 点A 0 16 在切线上 16 x03 3x0 3x02 3 x0 化简得x03 8 x0 2 切线方程为y 8 6 9 x 2 即9x y 16 0 课后练习2 解 由题设f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t 函数f x 在区间 1 1 是增函数 f x 0 即 3x2 2x t 0 亦即t 3x2 2x对x 1 1 恒成立 考虑函数g x 3x2 2x x 1 1 故t 3x2 2x对x 1 1 恒成立等价于t g 1 即t 5 而当t 5时 f x 在 1 1 上满足f x 0 故t的取值范围是 5 即f
15、 x 在 1 1 是增函数 课后练习3 已知函数f x x3 bx2 cx d的图象过点P 0 2 且在点M 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 1 求函数y f x 的解析式 2 求函数y f x 的单调区间 解 1 函数f x 的图象过点P 0 2 f 0 2 d 2 f x x3 bx2 cx 2 f x 3x2 2bx c f x 图象在点M 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 6 f 1 7 0 即f 1 1 且f 1 6 3 2b c 6 且 1 b c 2 1 即2b c 3 且b c 0 b c 3 f x x3 3x2 3x 2 2 由 1 知f x 3x2
16、6x 3 课后练习4 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 2 函数f x 在x 2 x 1处取得极值 12a 4b 2 0且3a 2b 2 0 由f x 0得 2 x 1 已知函数f x ax3 bx2 2x在x 2 x 1处取得极值 1 求函数y f x 的解析式 2 求函数y f x 的单调区间 由f x 0得x1 y f x 的单调递减区间是 2 1 单调递增区间是 2 和 1 f 2 f 1 0 2 由 1 知f x x2 x 2 课后练习5 设函数f x x3 ax2 bx c的图象如图所示 且与x轴在原点相切 若函数极小值为 4 1 求a b c的值 2 求函数的递减区间 解 1 函数f x 的图象过原点 c 0 函数f x 的图象与直线y 0相切 f x 3x2 2ax b 0 f 0 3 02 2a 0 b b 0 f x 3x2 2ax 解得a 3 故a b c的值分别为 3 0 0 2 由 1 知f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0得0 x 2 函数的递减区间为 0 2 课后练习6 解 1 f x 3x2 2ax b 又当x 2时 f 2 2 即 2
