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1、第五讲轴对称和等腰三角形中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题知识点睛等腰三角形1 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3 等腰三角形的性质：(1)两腰相等(2)两底角相等(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它
2、的对称轴线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合4 等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于6 等边三角形的判定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形7 等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等等腰直角三角形的判定：(1)顶
3、角为的等腰三角形(2)底角为的等腰三角形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称如下图，是轴对称图形两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图，与关于直线对称，叫做对称轴和，和，和是对称点轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的对称轴的性质
4、：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等如图，点是线段垂直平分线上的点，则线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就
5、是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴成轴对称的两个图形的主要性质：成轴对称的两个图形全等如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想轴对称变换应用时有下面两种情况：图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；图形中有垂线条件时，可考虑用此变换重、难点重点：探索等
6、腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助 难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练。运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、等腰三角形及轴对称的认识【例1】 下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是，那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是( )A只有命题正确 B只有命题正确C命题、都正确 D命题、都不正确【解析】 C【例2】
7、如图，在 中，于请你再添加一个条件，就可以确定是等腰三角形你添加的条件是 【解析】 或平分或【例3】 (2006年扬州中考)如图，在中，、分别是、上的点，与交于点，给出下列四个条件：；(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第小题中的一种情形，证明是等腰三角形【解析】 (1)，四种情况可判定是等腰三角形(2)下面以两个条件证明是等腰三角形，是等腰三角形【例4】 如图，分别平分，问：图中有几个等腰三角形？过点作，如图，交于，交于，图中又增加了几个等腰三角形？如图，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段与、有什么关系？如图，
8、平分，平分外角交于，交于线段 与、有什么关系？如图，、为外角、的平分线，交延长线于，交 延长线于，线段与、有什么关系？ 【解析】 图中有两个等腰三角形：、图中又增加了三个等腰三角形：、图中有两个等腰三角形：、，由于，故图所示中仍有两个等腰三角形、从而，又，故如图所示与类似，【例5】 (08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】 C 【例6】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A B C D【解析】 【例7】 (2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )【解析】 C【补充】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称【解析】
9、轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例8】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴【解析】 点拨：可以画出例图进行分析，明确正边形有条对称轴板块二、等腰三角形的性质【例9】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为( )A或【解析】 【补充】已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是( ) A B C D【解析】 B【例10】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A或或【解析】 【补充】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A
10、 B C或 D【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为；当顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为故选【例11】 (2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角为( )A B C或 D或【解析】 C【补充】(2006自贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A两腰长的和周长一半周长 一腰长与底边长的和【解析】 A【补充】(2000年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长【解析】 设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，
11、解得，而8，8，5和6，6，9均能组成等腰三角形注意等腰三角形中的分类讨论【例12】 (05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为，求的取值范围【解析】 ，且，解得【补充】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长【解析】 设腰长为，且，解得，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为8、6、4、2【例13】 已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数【解析】 若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为140，20，20；若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为100，40，40；若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为40，70，70【例14】 在中，求【解析】 设，则，在中，可得
12、，【补充】在中，求【解析】 设，则，在中，解得【例15】 的两边和的垂直平分线分别交于、，若，求【解析】 根据题意可得：，则即，解得【例16】 如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则是等边三角形；当为多少度时，是等腰三角形？【解析】 分三种情况讨论：要使，需，要使，需，要使，需综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形【例17】 (河南省数学竞赛)如图，在中，在上，在上取一点，使得，求的度数【解析】 由题设，及三角形外角定理，即，有而故，即【例18】 如图，为等边三角形，延长到，又延长到，使，连接，求证：为等腰三角形【解析】 延长到，使得，连接为等边三角形， 又为等边三角形 ，
13、 【例19】 如图，在中，为锐角，分别为边、上的点，满足，且求证： 【解析】 分析若，则问题迎刃而解直接证明困难，可考虑反证法若，则在上取一点，使，连接交于，连接在与中，故于是有，所以，从而，故从而有但另一方面，由于，知，所以从而矛盾故假设不成立若，同法可证假设不成立综上所述，于是由知，从而说明：在某些平面几何问题的证明中，反证法也是常用的方法板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例20】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由【解析】 点与点重合，或者点是点关于直线的对称点【例21】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这
