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1、全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 1 of 41 1991 年全国初中数学年全国初中数学联联合合竞赛试题竞赛试题 第一第一试试 一 选择题一 选择题 1 设等式在实数范围内成立 其中 a x y 是yaaxayaaxa 两两不同的实数 则的值是 22 22 3 yxyx yxyx A 3 B C 2 D 3 1 3 5 2 如图 AB EF CD 已知 AB 20 CD 80 BC 100 那么 EF 的值是 A 10 B 12 C 16 D 18 3 方程的解是 01 2 xx A B 2 51 2 51 C 或 D 2 51 2 51 2 51 4 已知 n 是自然数 那么 的值是
2、19911991 2 1 11 nn x n xx 1 2 A B 1 1991 1 1991 C D 1991 1 n 1 1991 1 n 5 若 其中 为自然数 n 为使得等式成立的最大的自然M n 1210099321 数 则 A 能被 2 整除 但不能被 3 整除 B 能被 3 整除 但不能被 2 整除 C 能被 4 整除 但不能被 3 整除 D 不能被 3 整除 也不能被 2 整除 6 若 a c d 是整数 b 是正整数 且满足 那么cba dcb adc 的最大值是 dcba A B C D 1 5 0 7 如图 正方形 OPQR 内接于 ABC 已知 AOR BOP 和 CR
3、Q 的面积分别是 1 1 S 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 2 of 41 和 那么 正方形 OPQR 的边长是 3 2 S1 3 S A B C 2 D 3 23 1 1 S 1 3 S 3 2 S 8 在锐角 ABC 中 ABC 的外接圆半径 1 则 1 ACcAB 60 AR A c 2 B 0 2 D c 2 二 填空题二 填空题 1 E 是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点 AE 交对角线 BD 于 G 如果 BEG 的面积是 则平行四边形 ABCD 的面积是 2 已知关于 x 的一元二次方程没有实数解 甲由于看错了二次项系数 0 2 cbxax 误求得两根为 2 和
4、 4 乙由于看错了某一项系数的符号 误求得两根为 1 和 4 那么 a cb32 3 设 m n p q 为非负数 且对一切 x 0 恒成立 则 q p n m x x x x 1 1 1 q pnm 22 2 4 四边形 ABCD 中 ABC BCD AB BC CD 6 135 120 6 35 则 AD 120 135 第二第二试试 一 已知 x y x y x y y x 四个数中的三个又相同的数值 求出所有具有这样性质的数对 x y 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 3 of 41 二 ABC 中 AB AC BC D 点在 BC 上 E 点在 BA 的延长线上 且 BD BE
5、 AC BDE 的外接圆与 ABC 的外接圆交于 F 点 如图 求证 BF AF CF 三 三 将正方形 ABCD 分割为 个相等的小方格 n 是自然数 把相对的顶点 A C 染成红 2 n 色 把 B D 染成蓝色 其他交点任意染成红 蓝两色中的一种颜色 证明 恰有三个 顶点同色的小方格的数目必是偶数 1992 年全国初中数学年全国初中数学联联合合竞赛试题竞赛试题 第一第一试试 一 选择题一 选择题 1 满足的非负整数的个数是 1 abba ba A 1 B 2 C 3 D 4 2 若是一元二次方程的根 则判别式与平方式 0 x 0 0 2 acbxaxacb4 2 的关系是 2 0 2 b
6、axM A B C D 不确定 M M M 3 若 则的个位数字是 0113 2 xx 44 xx A 1 B 3 C 5 D 7 4 在半径为 1 的圆中有一内接多边形 若它的边长皆大于 1 且小于 则这个多边形的2 边数必为 A 7 B 6 C 5 D 4 5 如图 正比例函数的图像与反比例函数的图像分 0 aaxyxy和 0 k x k y 别相交于 A 点和 C 点 若和的面积分别为 S1和 S2 则 S1与 S2的关系AOBRt COD 是 A B 21 SS 21 SS C D 不确定 21 SS 6 在一个由个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆 若把圆周8
7、8 经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 把圆周经过的所有小方格的圆内部 1 S 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 4 of 41 分的面积之和记为 则的整数部分是 2 S 2 1 S S A 0 B 1 C 2 D 3 7 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD AB 2CD 又 E 是底边 AB 上一 60A 点 且 FE FB AC FA AB 则 AE EB 等于 A 1 2 B 1 3 C 2 5 D 3 10 8 设均为正整数 且 则当 9321 xxxx 921 xxx 220 921 xxx 的值最大时 的最小值是 54321 xxxxx 19 xx A 8 B
8、9 C 10 D 11 二 填空题二 填空题 1 若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm 腰上的中线等 15cm 则这个等腰三角形的面 积等于 2 若 则的最大值是 0 x x xxx 442 11 3 在中 的平分线相交于点 又于点 若ABC BAC 和 90 PABPE E 则 3 2 ACBC EBAE 4 若都是正实数 且 则 ba 0 111 baba 33 b a a b 第二第二试试 一 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根 当这样的三角形06 2 axx 只有一个时 求的取值范围 a 二 如图 在中 是底边上一点 是线段上一点 且ABC DACAB BCEAD ACE
9、DBED 2 求证 CDBD2 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 5 of 41 三 某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0 1 2 3 5 6 这六个不同数字组成 现 有四个编码如下 A 320651B 105263 C 612305D 316250 已知编码 A B C D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同 D 恰有三个数字的位置 与 M 和 N 相同 试求 M 和 N 1993 年全国初中数学年全国初中数学联联合合竞赛试题竞赛试题 第一第一试试 一 选择题一 选择题 1 多项式除以的余式是 1 612 xx1 2 x A 1 B 1 C D 1 x1 x 2 对于命
10、题 内角相等的圆内接五边形是正五边形 内角相等的圆内接四边形是正四边形 以下四个结论中正确的是 A 都对 B 对 错 C 错 对 D 都错 3 设是实数 下列四个结论 x11 xxy 没有最小值 y 只有一个使取到最小值 xy 有有限多个 不止一个 使取到最大值 xy 有无穷多个使取到最小值 xy 其中正确的是 A B C D 4 实数满足方程组 54321 xxxxx 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是实常数 且 则的大小 54321 aaaaa 54321 aaaaa 54321 xxxxx 顺序是 A B 54321
11、 xxxxx 53124 xxxxx C D 52413 xxxxx 24135 xxxxx 5 不等式的整数解的个解 73 1 1 2 xxx A 等于 4 B 小于 4 C 大于 5 D 等于 5 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 6 of 41 6 在中 则的值是 ABC BCAOOA 是垂心是钝角 cos OCBOBC A B 2 2 2 2 C D 2 3 2 1 7 锐角三角 ABC 的三边是 a b c 它的外心到三边的距离分 别为 m n p 那么 m n p 等于 A B cba 1 1 1 cba C D CBAcos cos cosCBAsin sin sin 8
12、可以化简成 1 333 3 9 1 9 2 9 4 3 A B C D 12 3 33 12 3 33 12 3 12 3 二 二 填空题填空题 1 当 x 变化时 分式的最小值是 1 563 2 2 1 2 xx xx 2 放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行 如果最左面的盒里有 7 个小球 且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球 那么最右面的盒里有 个小球 3 若方程有四个非零实根 且它们在数轴上对应的四个点等距排列 kxx 4 1 22 则 k 4 锐角三角形 ABC 中 以 BC 边为直径作圆 与 AB AC 分别交于 D 30A E 连接 DE 把三角形 ABC 分成三角形
13、ADE 与四边形 BDEC 设它们的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 第二第二试试 一 设 H 是等腰三角形 ABC 垂心 在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距 离变小 这时乘积的值变小 变大 还是不变 证明你的结论 HBCABC SS 二 中 BC 5 AC 12 AB 13 在边 AB AC 上分别取点 D E 使线段ABC 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 7 of 41 DE 将分成面积相等的两部分 试求这样的线段 DE 的最小长度 ABC 三 已知方程分别各有两个整数根及 且00 22 bcxxcbxx及 21 x x 21 x x 0 21 xx
14、0 21 x x 1 求证 0 0 0 0 2121 xxxx 2 求证 1 bc1 b 3 求所有可能的值 cb 1994年全国初中数学年全国初中数学联联合合联赛试题联赛试题 第一试 一 选择题一 选择题 本题满分本题满分48分 每小题分 每小题6分分 1 若0 ab a b c 则N 2 当时 函数的最大值是 16x 21yx xx 3 在 ABC中 设AD是高 BE是角平分线 若BC 6 CA 7 AB 8 则DE 4 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上 使它们两两外切 若要有用 一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住 则这个大圆形纸片的最小半径等于 第二第二试试 一 一
15、本题满分本题满分20分分 如图所示 在 ABC中 AB AC 任意延长CA到P 再延长AB到Q 使AP BQ 求 证 ABC的外心O与A P Q四点共圆 全国初中数学联合竞赛试题汇编 page 9 of 41 二 二 本题满分本题满分20分分 周长为6 面积为整数的直角三角形是否存在 若不存在 请给出证明 若存 在 请证明共有几个 三 三 本题满分本题满分20分分 某次数学竞赛共有15个题 下表是对于做对n n 0 1 2 15 个题的人数的一 个统计 n0123 12131415 做对n个题的人数781021 15631 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题 做对10个
16、题和10 个题以下的学生每人平均做对4个题 问这个表至少统计了多少人 1995年全国初中数学年全国初中数学联联合合竞赛试题竞赛试题 第一第一试试 一 选择题一 选择题 1 已知a 355 b 444 c 533 则有 A a b cB c b a C c a b D a c b 2 方程组的正整数解的组数是 63 23 xyyz xzyz A 1B 2 C 3 D 4 3 如果方程 x 1 x2 2x m 0的三根可以作为一个三角形的三边之长 那么实数 m的取值范围是 A B C D 01m 3 4 m 3 1 4 m 3 1 4 m 4 如果边长顺次为25 39 52与60的四边形内接于一圆 那么此圆的周长为 A 62 B 63 C 64 D 65 5 设AB是 O的一条弦 CD是 O的直径 且与弦AB相交 记M S CAB S DAB N 2S OAB 则 A M N B M N C M N D M N的大小关系不确定 6 设实数a b满足不等式 a a b a a b 则 A a 0且b 0B a 0且b 0 C a 0且b 0D a 0且b 0 二 填空题二 填空题 1 在12
