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1、高中数学必修2 1 2 2空间两条直线的位置关系 2 1 空间两直线的位置关系 复习回顾 2 平行公理 3 空间等角定理 对于异面直线 如何判定 又如何进一步刻画呢 1 异面直线的定义 空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线 异面直线不平行也不相交 2 异面直线的画法 A B l m n m n m n 画异面直线一定要依托于平面 如图 长方体ABCD A1B1C1D1的棱所在直线中 与直线AA1是异面的有 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 相邻两个侧面的对角线A1B与 异面 CD BC B1C1 C1D1 B1C的位置关系是 用反证法证明 空间四边形ABCD的对角线AC BD是
2、异面直线 D A B C 在空间四边形中 各边所在直线异面的共有几对 练习 例1 求证过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不经过该点的直线是异面直线 已知 A B B l l 求证 直线AB和l是异面直线 定理 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不经过该点的直线是异面直线 符号表示 若A B B l l 则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 判定两条直线是异面直线的常用方法 反证法 练习 判断正误 若a b 则a b为异面直线 若a b b c 则a c 若a b为异面直线 b c为异面直线 则a c也为异面直线 若a b共面 b c共面 则a c也共面 一条直线和两条异面直线中的
3、一条平行 则它和另一条直线不可能平行 小结 异面直线的判定 利用定义 判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不经过该点的直线是异面直线 符号表示 若A B B l l 则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常用方法 反证法 定量 空间内O点 任取 说明角的大小与点O的位置选取无关 只由两直线的相对位置所确定 a b 相交 转化为平面内两相交直线所成的角进行度量 立体问题平面化 0 90 异面直线所成的角 a b O a b a 特别地 90 时 称两条异面直线互相垂直 记作 a b 空间两直线互相垂直 不一定有垂足 异面直线互相垂直一定没有垂足 例2 如图 在正方体ABCD A1
4、B1C1D1中 求下列各对异面直线所成的角 O 主要步骤 构造平面角 证明 求角计算 转化为平面角 1 A1B与C1C 2 AC与B1D1 3 AC与BC1 4 A1B与B1D1 练习 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别为所在棱的中点 求下列各对异面直线所成的角 O 中位线 1 EF与MN 2 EF与BD1 例2 空间四边形ABCD中 E F分别是对角线BD AC的中点 1 若BC AD 2EF 求直线EF与AD所成角的大小 2 若AB 8 CD 6 EF 5 求AB与CD所成角的大小 Zx xk B C D A E F 练习 1 指出下列命题是否正确 并说明理由
5、过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直 若a b c a则b c 若c a b c则a b 分别与两条异面直线a b都相交的两条直线c d一定异面 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 与AD1所成角为60 的面对角线有条 3 已知不共面的三直线a b c相交于点O M P是a上两点 N Q分别在b c上 求证 MN PQ异面 4 如图在三棱锥A BCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 求证 四边形ABCD是平行四边形 若AC BD 求证 四边形ABCD是菱形 当AC与BD满足什么条件时 四边形ABCD是正方形 A B F C D H E G 1 异面直线的判定 小结 利用定义 判定定理 若A B B l l 则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常用方法 反证法 2 异面直线所成的角 作业 课本第30页练习4 5和第31页习题1 2 1 第10 11 14
