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1、二 用数学归纳法证明不等式一览众山小诱学导入 材料:英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文.哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究.他在观测了大彗星之后,又对24颗彗星的轨道进行了计算,他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性.他用不完全归纳法得出了下面一个特性.即1531年-1456年=75年,1607年-1531年=76年,1682年-1607年=75年.这表明,这三次彗星出现的间隔时间几乎相同,于是哈雷猜想,过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星.就是说,它可能先后三次经过那里.它以76年为周期绕日运转.哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到
2、来,1759年3月13日,这颗明亮的彗星,拖着长长的尾巴果然出现在天空之中.大家为了纪念哈雷的预言,称这颗彗星为“哈雷彗星”,哈雷受到全世界人们的尊敬. 问题:曾有些胆小的人(包括某些天文学家)认为哈雷彗星必将与地球相撞,地球的末日将到来,有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧,事先自杀了.地球真的会与哈雷彗星相撞吗? 导入:数学归纳法看似极平常,蕴含的递推的思想却如奔腾河水一样扫荡整个自然数集.人类有了数学归纳法,便第一次拥有了征服无限的能力,这难道不是一种伟大的进步吗?在我们高中数学中,数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验,以数列为背景的不等式证明题,因是与自然数n相关的命题,我们很容易联想到用数学归纳法证明.温故知新 用数学归纳法证明不等式与已学的哪些知识和方法是息息相关的?答:我们在前面学习证明不等式时,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢?这就是我们学习本节的目的所在.1