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1、二次函数的简单综合题（解析版）1、（2013湖州）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标2、(2013浙江丽水)如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作轴、轴的平行线与直线OA交于点C，E。 （1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（，），求出，之间的关系式。3、（2013宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是
2、直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当MBC为等腰三角形时，求M点的坐标4、（2013牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标5、（2013绥化）如图，已知抛物线y=（x2）（x+a）（a0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线过点M（2，2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标(2013年广东省9分、2
3、3)已知二次函数.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如题23图,当时,该抛物线与轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由. （2013甘肃兰州12分、28压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（
4、1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值考点：二次函数综合题分析：（1）将y=mx22mx3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQy轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：DM2+BD2=MB2时；DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值解答：解：（1）y=mx22mx3m=m（x
5、3）（x+1），m0，当y=0时，x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2x如图：过点P作PQy轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x，设P（x，x2x），则Q（x，x），PQ=x（x2x）=x2+x，SPBC=PQOB=（x2+x）3=（x）2+，当x=时，SPBC有最大值，Smax=，（）2=，P（，）；（3）y=mx22mx3m=m（x1）24m，顶点M坐标（1，4m），当x=0时，y=3m，D（0，3m），B（3，0），DM2=（01）2+（3m+4m）2=m2+1，
6、MB2=（31）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（30）2+（0+3m）2=9m2+9，当BDM为Rt时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=1（m0，m=1舍去）；DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得m=（m=舍去）综上，m=1或时，BDM为直角三角形点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度(2013年广东湛江压
7、轴题)如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交 轴与点，交轴与两点（点在点的左侧），已知点坐标为（）求此抛物线的解析式；（）过点作线段的垂线交抛物线与点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与的位置关系，并给出证明（）在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）由题意可设此抛物线的解析式为：此抛物线过点 ，此抛物线的解析式为：，即（）此时抛物线的对称轴与相离。证明：令，即，得或，设直线的解析式为：，则，直线与直线垂直，直线可表示为：，直线为：点到直线的距离为：点为圆心的圆与直线相切，的半径为：又点到抛物线对称轴的距离为： 而
8、，。所以此时抛物线的对称轴与相离。（）假设存在满足条件的点， 当时，在中，由勾股定理，得 ，整理，得点在抛物线上，解得或，或 点为或（舍去） 当时，在中，由勾股定理，得 ，整理，得点在抛物线上，解得或，或 点为或（舍去）综上，满足条件的点的坐标为或（2013毕节地区压轴题）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BDCA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E
9、为顶点的三角形与CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；（3）本问为存在型问题可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论解答：解：（1）点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，解得：a=1，b=1，抛物线的解析式为：y=x2+1，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，B（1，
10、0）（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：，解得k=1，b=1，y=x+1BDCA，可设直线BD的解析式为y=x+n，点B（1，0）在直线BD上，0=1+n，得n=1，直线BD的解析式为：y=x1将y=x1代入抛物线的解析式，得：x1=x2+1，解得：x1=2，x2=1，B点横坐标为1，则D点横坐标为2，D点纵坐标为y=21=3，D点坐标为（2，3）如答图所示，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在RtBDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在RtADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，OCAB，
11、由勾股定理得：AC=BC=；四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+=+（3）假设存在这样的点P，则BPE与CBD相似有两种情形：（I）若BPEBDC，如答图所示，则有，即，PE=3BE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=1m，PE=3BE=33m，点P的坐标为（m，33m）点P在抛物线y=x2+1上，33m=（m）2+1，解得m=1或m=2，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去因此，此种情况不存在；（II）若EBPBDC，如答图所示，则有，即，BE=3PE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE
12、=（1+m）=+m，点P的坐标为（m， +m）点P在抛物线y=x2+1上，+m=（m）2+1，解得m=1或m=，m0，故m=1舍去，m=，点P的纵坐标为： +m=+=，点P的坐标为（，）综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似，点P的坐标为（，）（2013黔西南州压轴题）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC
13、相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）由于抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；（3）分两种情况讨论，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：故函数解析式为：y=x2+2x（2）当AO为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由A（2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线
14、x=1左侧，则D横坐标为3，代入抛物线解析式得D1（3，3），若D在对称轴直线x=1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）综上可得点D的坐标为：（3，3）或（1，3）（3）存在如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2，BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，若AMPBOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=2（舍去）当x=时，y=，即P（，），若PMABOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）（2013六盘水压轴题
