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1、11 利用函数性质判定方程解的存在1了解函数的零点与方程的根的关系2掌握函数零点存在性的判定方法3探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法1函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点(2)意义：函数yf(x)的零点就是方程_的解 方程f(x)0有解函数f(x)的图像与x轴有交点函数f(x)有零点并非所有的函数都有零点例如，函数f(x)x21，由于方程x210无实数根，则该函数无零点【做一做11】 函数yx的零点是( )A(0,0) B0 C1 D不存在【做一做12】 函数f(x)x22x的零点个数是( )A0 B1 C2 D32函数零点的判定定理若函数y
2、f(x)在闭区间a，b上的图像是_曲线，并且在区间端点的函数值符号_，即_0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有_零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解当函数yf(x)同时满足：函数的图像在闭区间a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0，则可以判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点当函数yf(x)的图像在闭区间a，b上不是连续曲线，或不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间a，b内可能存在零点，也可能不存在零点例如：二次函数f(x)x22x3在区间3，4上有f(3)0，f(4)0，所以有f(3)f(4)0，但3是函数
3、f(x)的一个零点.函数f(x)x2在区间1，1上，f(1)f(1)10，但是它存在零点0.函数f(x)在区间1，1上有f(1)f(1)0，但是由其图像知函数f(x)在区间(1，1)内无零点.【做一做21】 已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )A(3,4) B(2,3)C(1,2) D(0,1)【做一做22】 函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是_答案：1(1)横坐标(2)f(x)0【做一做11】 B【做一做12】 C2连续相反f(a)f(b)一个【做一做21】 C利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间由于f(0)10，f(1)10，f
4、(2)50，f(3)230，f(4)590，根据选项，只有区间(1,2)满足【做一做22】 (1，)由f(0)f(1)0得(1)(m1)0.m1.函数的零点是点吗？剖析：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)0的解，即函数的零点是一个实数当函数的自变量取这一实数时，其对应函数值为零方程f(x)0解的个数等于函数f(x)零点的个数函数f(x)x1，当f(x)x10时仅有一个实根x1，所以函数f(x)x1有一个零点1.由此可见函数f(x)x1的零点是一个实数1，而不是一个点(1,0)题型一 求函数的零点【例1】 判断下列函数是否存在零点，如
5、果存在，请求出(1)f(x)8x27x1；(2)f(x)1log3x；(3)f(x)4x16；(4)f(x).分析：可通过解方程求得函数的零点反思：求函数的零点时，先考虑解方程f(x)0，方程f(x)0无实根则函数无零点，方程f(x)0有实根则函数有零点本题(4)中解方程容易错写成函数的零点是6和2，其原因是没有验根避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义题型二 判断函数零点的个数【例2】 求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数分析：思路一，借助函数f(x)的单调性确定；思路二，借助图像确定反思：判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就
6、直接求出进行判断(2)用定理：零点存在性定理(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)g(x)的零点题型三 判断函数零点所在大致区间【例3】 求证：方程5x27x10的根一个在区间(1,0)上，另一个在区间(1,2)上分析：证明方程5x27x10的两根分别位于(1,0)和(1,2)上，即证在(1,0)和(1,2)上各有一个零点反思：判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)f(x2)0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续若要判断根的个数，还需结合函数的单调性题型四 由函数的零点求参数的取值范围【例4
7、】 若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围分析：由于函数yax2x1中x2前面的系数a不确定，故需分a0和a0两种情况讨论反思：解决本题时易忽略a0的情形，因为题目中并没有说明所给函数是二次函数题型五 易错辨析易错点 因函数的图像不是连续不断的而造成判断错误【例5】 函数f(x)x的零点个数为_错解：因为f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0；x0时，f(x)0，所以yf(x)有一个零点故填1.错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域通过作图可知函数f(x)x的图像不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用答案：【例1】 解：(1)令8x
8、27x10，解得x或x1，所以函数的零点为和1.(2)令1log3x0，则log3x1，解得x，所以函数的零点为.(3)令4x160，则4x42，解得x2，所以函数的零点为2.(4)因为f(x)，令0，解得x6，所以函数的零点为6.【例2】 解法1：f(0)10210，f(2)4lg322lg30，f(x)0在(0,2)上必定存在实根又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个实根解法2：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的叠合图像由图像知g(x)lg(x1)和h(x)22x有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点【例3
9、】 解：设f(x)5x27x1，则f(1)f(0)11(1)110，f(1)f(2)(3)5150.而二次函数f(x)5x27x1是连续的，所以f(x)在(1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x27x10的根一个在区间(1,0)上，另一个在区间(1,2)上【例4】 解：(1)当a0时，函数为yx1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点(2)当a0时，函数yax2x1是二次函数因为yax2x1只有一个零点，所以关于x的方程ax2x10有两个相等的实数根，所以0，即14a0，解得a.综上所述，a的值为0或.【例5】 正解：函数的定义域为x|x0，当x0时，f(x)0；当x
10、0时，f(x)0，所以函数没有零点故填0.1 下列函数存在零点的是( )Ay Bylog3x Cyx2x1 Dy3x2 若函数f(x)在区间2,2上的图像是连续不断的曲线，且函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值 ( )A大于0 B小于0C等于0 D不能确定3 函数f(x)的零点所在的大致区间是( )A(0,1) B(1,2) C(2，e) D(3,4)4 函数f(x)x33x5的零点所在区间为_5 已知函数f(x)2x3x2.问方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？答案：1B2D函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则可能f(2)f(2)0，可能f(2)f(2)0.3Bf(1)ln220，f(2)ln310，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)4(1,2)f(0)50，f(1)10，f(2)90，零点所在区间为(1,2)5分析：要判断方程f(x)0在区间1,0上有没有实数解，只需看f(1)，f(0)是否反号即可解：f(1)，f(0)10，又函数f(x)2x3x2的图像是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解5
