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1、复数的概念与运算要点梳理一、要点解读1复数的有关概念（1）虚数的单位i的引入认识：它和实数可以进行四则运算，产生形如的数（其中）；它的平方等于，即（2）复数及其相关概念：复数形如的数（其中）；实数当时的复数，即a；虚数当时的复数；纯虚数当且时的复数a+bi，即bi；复数的实部与虚部a、b分别叫做复数的实部与虚部（注意a、b都是实数）；复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示（3）两个复数相等的定义：且（其中a，b，c，）特别地，（）复数的比较：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注：若为复数，则1若，则（）（为复数，而不是实数）若，则（）来源:Z。xx。k.Com若，则是的必要不充分条件（
2、当，时，但不成立）2复数的有关运算（1）复数的四则运算：代数运算的加减法类似合并同类项，代数运算的乘法类似多项式的乘法，代数形式的除法，通常先写成分式的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母实数化，注：复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律（2）运算律满足的条件：复数的乘方：来源:学&科&网对任何及有，注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果如，若由就会得到的错误结论在实数集中成立，当x为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法3共轭复数的性质：，来源:学科网ZXXK注：两个共轭复数之差是纯虚数（）（差可能为零，此时两个复数是相等的实数）复数和有序实数对的一一对
3、应关系（1）复数可说成点或向量，并且规定，相等的向量表示同一复数向量的模叫做复数的模（或绝对值），记作或由模的定义可知（2）复平面内的两点间距离公式：其中是复平面内的两点和所对应的复数，表示两点间的距离（3）曲线方程的复数形式：表示以为圆心，r为半径的圆的方程表示线段的垂直平分线的方程（且）表示以为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段），表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）（4）绝对值不等式：设是不等于零的复数，则左边取等号的条件是（，且），右边取等号的条件是（，且）左边取等号的条件是（，且），右边取等号的条件是（，且）注：5几个充要条件（1）复数z是实数及纯虚数的充要条件：若，或z是纯虚数（2）模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的；而相等的向量表示同一复数特例：零向量的方向是任意的，其模为零来源:学科网注：二、范例点悟例计算分析：本题若按复数除法和乘法法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论，并注意到，不难找出简捷解法解：原式评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质及1i的幂的性质（详见第二版）等，将有效地简化运算，提高解题速度 - 4 -
