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1、五 与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识巧学 一、相交弦定理1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.定理的证明：如图2-5-2，已知O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P.图2-5-2求证：PAPB=PCPD.证明：连结AC、BD，则由圆周角定理有B=C，又BPD=CPA，APCDPB.PAPD=PCPB，即PAPB=PCPD.当然，连结AD、BC也能利用同样道理，证得同样结论.3.由于在问题的证明中，O的弦AB、CD是任意的，因此，PAPB=PCPD成立，表明“过圆内一定点P的弦，被P点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P的弦有无数多条，然而在这众多的弦
2、中有一些长度比较特殊的弦，如过点P的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图2-5-3如图2-5-3（1），考察动弦AB，若AB过O的圆心O，则AB为过点P的最长的弦，设O的半径为R，则PAPB=（R+OP）（R-OP）.如图2-5-3（2），考察过点P的弦中最短的弦，AB为过O内一点P的直径，CD为过点P且垂直于AB的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有PAPB=PCPD=(CD)2=OC2-OP2=R2-OP2.由于O是定圆，P为O内一定点，故O的半径R与OP的长为定值.设OP=d，比较上述两式，其结论是一致的，即PAPB=(R+d)（R-d）=R2-d2，为定值.于是，相交弦定理可进一
3、步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P的位置有关，对圆内不同的点P，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的. 知识拓展 由第二式可直接得到相交弦定理的推论:“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.”即PC2=PD2=PAPB.二、割线定理与切割线定理1.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
4、长的比例中项.3.符号语言表述：如图2-5-4，PAPB=PCPD=PE2.图2-5-44.定理的证明：连结EC、ED，由于PE为切线，所以PEC=PDE.又因为EPC=EPC，于是PECPDE，因此有PEPC=PDPE，即PE2=PCPD.同理，有PE2=PAPB，所以PAPB=PCPD. 记忆要诀 应用定理应注意的两点：（1）所有线段，都有一个公共端点P，而另一端点在圆上；（2）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上. 误区警示 使用这部分定理推论时，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图2-5-5（），弦和交于内一点，则有=；如图
5、2-5-5（），为的弦，为直径，且，垂足为，则有2=.常见错误是将线段关系写为=，2=. (1) (2)图2-5-5如图2-5-6（1），点是外一点，为切线，为切点，为割线，点、是它与的交点，则有2=，常见错误是把线段关系写成2=.如图2-5-6（2），为的割线，为的另一条割线，则=.常见错误是把线段关系写成=C.如图2-5-6(3)，把切割线定理的推论写成=. (1) (2) (3)图2-5-6三、切线长定理1.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是
6、一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分.2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.3.如图2-5-7，PA、PB是O外一点向圆作的两条切线，切点分别为A和B，那么连结OA、OB、OP，因为PA、PB与O相切于A、B两点，则有OAAP，OBBP，于是OAP、OBP都是直角.又OA=OB，OP=OP，所以RtAOPRtBOP.所以PA=PB，OAP=OBP.图2-5-7 知识拓展 由切线长定理，可以得到圆外切四边形的一个重要性质：圆的外切四边形的两组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.问题探究问题1 相交弦定理、
7、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似，定理中都涉及到两条线段的积相等，那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？思路:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点.探究:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）.两条线段的长的积是常数PAPB=|R2-d2|，其中d为定点P到圆心O的距离.若P在圆内
8、，dR，则该常数为R2-d2；若P在圆上，d=R，则该常数为0；若P在圆外，dR，则该常数为d2-R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点.在实际应用中，见圆中有两条相交弦想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.问题2 与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性质等若干内容，大都是综合性的问题，那么通常我们怎样证明这些比例式？在证明时有什么诀窍吗？思路:与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似三角形的综合题.探究:与圆有关的比例线段
9、问题，主要是圆与相似形的综合，其证法大致可分以下几种：(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到，在证明“等积式”形如a2=bc时，如果其中有三条线段共线，那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2=bc时，如果其中有三条线段共线，不妨把平方项线段利用中间积进行代换试试.(4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否)时，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试.与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，
10、相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.典题热题例1从不在O上的一点A作直线，交O于B、C，且ABAC=64，OA=10，则O的半径等于_.思路分析：点A不在O上，有两种情况：（1）点A在O内；（2）点A在O外.答案：分两种情况讨论：（1）点A在O内，如图2-5-8(1)所示.作直线OA交O于E、F，设O的半径为r，则AE=r-10,AF=r+10.由相交弦定理得(r-10)(r+10)=64.解得r1=，r2= (不合题意，舍去).r=.图2-5-8（2）当A在O的外部时，如图2-5-8(2),延长AO交O于F，设O
11、的半径为R，由切割线定理的推论得ABAC=AEAF，即64=(10-R)(10+R).解得R1=6，R2=-6（不合题意，舍去）.R=6.综上所述，O的半径为或6.例2如图2-5-9，已知PA切O于A，割线PBC交O于B、C，PDAB于D，PD、AO的延长线相交于E，连结CE并延长交O于F，连结AF.图2-5-9（1）求证：PBDPEC;（2）若AB=12，tanEAF=,求O的半径.思路分析：在（1）中，要证相似的两个三角形已经有一个角相等，只要再证其夹边对应成比例即可，而这可由PADPEA得到；在（2）中，已知tanEAF=，所以需构造直角三角形，从而运用三角函数求解.(1)证明：由切割线
12、定理，得PA2=PBPC.由PADPEA,得PA2=PDPE，PBPC=PDPE.又BPD公共,PBDPEC.(2)解：作OGAB于G，由PBDPEC可得CEP=F，PEAF.又OGAB于G，AG=AB=6.OGEDFA.AOG=EAF.RtAOG中，tanAOG=，又=，OG=9.由勾股定理，AG2+OG2=AO2，AO=.O半径长为. 方法归纳 已知或图形中出现切线、割线等相关的条件时，通常需要借助于切割线定理，以建立线段之间的关系.例3如图2-5-10，BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.（1）求证：EF2=EDEA；（2）若AE=6，E
13、F=3，求AFAC的值.图2-5-10思路分析：（1）要证EF2=EDEA，只需证AEFFED.（2）由于ACAF=ADAE，而由（1）可求得DE，因而AD可以求出来，从而计算出ADAE，即为ACAF的值.（1）证明：连结CE、DF.1=2，3=4，1=3，2=4.AEF=FED，AEFFED.EF2=EDEA.（2）解：由（1）知EF2=AEED.EF=3,AE=6,ED=.AD=.ACAF=ADAE=6=27. 方法归纳 当题目中涉及两个圆时，我们常常作两圆的公共弦EC，以此来沟通两个圆的联系，这也是解决此类问题的关键.例4如图2-5-11，已知O1和O2相交于点A、B，过点A作O1的切线
14、交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1、O2于点D、E，DE与AC相交于点P.图2-5-11（1）求证：ADEC；（2）若AD是O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.思路分析：（1）连结AB，利用O1的弦切角BAC过渡来证明D=E.（2）设BP=x，PE=y，利用相交弦定理和ADEC可以列出关于x、y的方程组，求出x、y，再用切割线定理求AD.（1）证明：连结AB.AC为O1的切线，BAC=D.又BAC=E,D=E.ADEC.（2）解：设PB=x，PE=y,AP=6，PC=2，xy=12.ADEC，即.9+x=3y.由解得（舍去）.DE=9+x+y=16.AD为O2的切线，AD2=DBDE=916.AD=12. 深化升华 本例综合运用了弦切角定理、相交弦定理、切割线定理和平行线分线段成比例定理，综合性较强.在这里应强调的是利用代数方法解决几何问题，特别是
