《小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)(勘误)(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)(勘误)(1).pdf（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 小学奥数平面几何五种模型 等积 鸟头 蝶形 相似 共边 目标 熟练掌握五大面积模型等积 鸟头 蝶形 相似 含金字塔模型和沙 漏模型 共边 含燕尾模型和风筝模型 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨知识点拨 一 等积模型一 等积模型 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如右图 12 SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形 如右图 ACDBCD SS 反之 如果 ACDBCD SS 则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平
2、行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 三两个平行四边形底 相等 面积比等于它们的高之比 二 鸟头定理二 鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比 如图在ABC 中 D E分别是 AB AC上的点如图 或D在BA的延长线上 E在 AC上 则 ABCADE SSABACADAE E D C B A E D CB A 图 图 三 蝶形定理三 蝶形定理 任意四边形中的比例关系 蝶形定理 1243 SSSS 或者 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解
3、决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造 模型 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 ba S2S1 DC BA S4 S3 S2 S1 O D CB A 2 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系 梯形中比例关系 梯形蝶形定理 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab S的对应份数为 2 ab 四 相似模型四 相似模型 一 金字塔模型 二 沙漏模型 G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG 22 ADEABC SSAFAG 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改变 不
4、论大小怎样改变它们都相似 与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下 相似三角形的一切对应线段的长度成比例 并且这个比例等于它们的相似 比 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型 给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 在小学奥数里 出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五 共边定理 燕尾模型和风筝模型 五 共边定理 燕尾模型和风筝模型 在三角形ABC中 AD BE CF相交于同一点O 那么 ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面
5、积比与线段比的手段 因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴 所以这个定理被称 为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用 它的特殊性在于 它可以存在于任何一个三角形之中 为 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 A BC D O b a S3 S2 S1 S4 O F E D CB A 3 典型例题典型例题 例 例 1 如图 正方形如图 正方形ABCD的边长为的边长为 6 AE 1 5 CF 2 长方形长方形EFGH的面的面 积为积为 解析 连接DE DF 则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积 6 6
6、 1 5 622 624 5 4216 5 DEF S 所以长方形EFGH 面积为 33 巩固 如 巩固 如图所示 正方形图所示 正方形ABCD的边长为的边长为8厘米 长方形厘米 长方形EBGF的长的长BG为为10厘厘 米 那么长方形的宽为几厘米 米 那么长方形的宽为几厘米 解析 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形 三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半 证明 连接AG 我们通过ABG 把这两个长方形和正方形联系在一 起 在正方形ABCD中 G 1 2 AB SABAB 边上的高 1 2 ABGABCD SS 三角形面积
7、等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半 同理 1 2 ABGEFGB SS 正 方 形A B C D与 长 方 形E F G B面 积 相 等 长 方 形 的 宽 881 06 4 厘米 H G F E D C B A A B C D E F G H A B G C E F D A B G C E F D 4 例 例 2 长方形长方形ABCD的面积为的面积为 36 2 cm E F G为各边中点 为各边中点 H为为AD边上任边上任 意一意一点 问阴影部分面积是多少点 问阴影部分面积是多少 H G F E D C B A 解析 解法一 寻找可利用的条件 连接BH HC 如下图 H G F E
8、D C B A 可 得 1 2 EHBAHB SS 1 2 FHBCHB SS 1 2 DHGDHC SS 而 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 11111 364 5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是 18184 513 5 EBF SS 阴影 解法二 特殊点法 找H的特殊点 把H点与D点重合 那么图形就可变成右图 G A B C D E F H 这样阴影部分的面积就是DEF 的面积 根据鸟头定理 则有 1111111 36363
9、63613 5 2222222 ABCDAEDBEFCFD SSSSS 阴影 巩固 巩固 在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P 将正方形的一组对边 将正方形的一组对边 二等分 另一二等分 另一组对边三等分 分别与组对边三等分 分别与P点连接点连接 求求阴影阴影部分面积 部分面积 5 P D C B A A B C D P P D C B A 解析 法 1 特殊点法 由于P是正方形内部任意一点 可采用特殊点法 假设P点与A点重合 则阴影部分变为如上中图所示 图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 1 4 和 1 6 所以阴影部分的面积为 2 1
10、1 6 15 46 平方厘米 法 2 连接PA PC 由于PAD 与PBC 的面积之和等于正方形ABCD面积的一半 所以上 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 4 同理可知 左 右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 6 所以阴 影部分的面积为 2 11 6 15 46 平方厘米 例 例 3 如图所示 长方形如图所示 长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70 8AB 15AD 四边形 四边形EFGO的面积为的面积为 O G F E D CB A 解析 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE DOG和四边形EFGO的 面积之和
11、以及三角形AOE和DOG的面积之和 进而求出四边形EFGO 的面积 由于长方形ABCD的面积为15 8120 所以三角形BOC的面积为 1 12030 4 所以三角形AOE和DOG的面积之和为 3 1207020 4 又三角形AOE DOG和四边形EFGO的面积之和为 11 12030 24 所以 四边形EFGO的面积为302010 另解 从整体上来看 四边形EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形 BFD面积 白色部分的面积 而三角形AFC面积 三角形BFD面积为长 方形面积的一半 即 60 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 6 分的面积 即1207050 所以四边形的面积为60501
12、0 巩固 如图 长方形 巩固 如图 长方形ABCD的面积是的面积是 36 E是是AD的三等分点 的三等分点 2AEED 则 则 阴影部分的面积为阴影部分的面积为 O A BC D E N M O A BC D E 解析 如图 连接OE 根 据 蝶 形 定 理 1 1 1 2 COECDECAECDE ON NDSSSS 所 以 1 2 OENOED SS 1 1 4 2 BOEBAEBDEBAE OM MASSSS 所以 1 5 OEMOEA SS 又 11 3 34 OEDABCD SS 矩形 26 OEAOED SS 所以阴影部分面积为 11 362 7 25 例 例 4 已知已知ABC为
13、等边三角形 面积为为等边三角形 面积为 400 D E F分别为三边的中点 分别为三边的中点 已知甲 乙 丙面积和为已知甲 乙 丙面积和为 143 求阴影五边形的面积 求阴影五边形的面积 丙是三角形丙是三角形 HBC 丙 乙甲 H N M JIF E D CB A 解析 因为D E F分别为三边的中点 所以DE DF EF是三角形ABC的 中位线 也就与对应的边平行 根据面积比例模型 三角形ABN和三 角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半 即为 200 根据图形的容斥关系 有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙 即400 200200 AMHN SS 丙 所以 AMHN SS 丙
14、又 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 所以 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 7 例 例 5 如图 已知如图 已知5CD 7DE 15EF 6FG 线段 线段AB将图形分成两部将图形分成两部 分 左边部分面积是分 左边部分面积是 38 右边部分面积是 右边部分面积是 65 那么三角形 那么三角形ADG的面的面 积是积是 G FEDC B A A B CDEF G 解析 连接AF BD 根据题意可知 571527CF 715628DG 所以 15 27 BECBFF SS 12 27 BECBFC SS 21 28 AEGADG SS 7 28 AEDADG SS 于
15、是 2115 65 2827 ADGCBF SS 712 38 2827 ADGCBF SS 可得40 ADG S 故三角形ADG的面积是 40 例 例 6 如 图 在如 图 在ABC 中 中 D E分 别 是分 别 是 AB AC上 的 点 且上 的 点 且 2 5AD AB 4 7AE AC 16 ADE S 平方厘米 求平方厘米 求ABC 的面积 的面积 E D C B A E D CB A 解析 连接BE 2 5 2 4 5 4 ADEABE SSAD AB 4 7 4 5 7 5 ABEABC SSAE AC 所以 24 75 A D EA B C SS 设 8 ADE S 份 则3
16、5 ABC S 份 16 ADE S 平方厘米 所以1份是2平方厘米 35份就是70平方厘米 ABC 的面积是70平方厘米 由此我们得到一 个重要的定理 共角定理 共角三角形的面积比等于对应角 相等角 或互补角 两夹边的乘积之比 巩固 如图 三角形 巩固 如图 三角形ABC中 中 AB是是AD的的 5 倍 倍 AC是是AE的的 3 倍 如果三角倍 如果三角 形形ADE的面积等于的面积等于 1 那么三角形 那么三角形ABC的面积是多少 的面积是多少 8 E D CB A A BC D E 解析 连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又 5ABAD 515 ADEABEABC SSS 1515 ABCADE SS 巩固 如图 三角形 巩固 如图 三角形ABC被分成了甲被分成了甲 阴影部分阴影部分 乙两部分 乙两部分 4BDDC 3BE 6AE 乙部分面积是甲部分面积的几倍 乙部分面积是甲部分面积的几倍 乙 甲 E D CB A A BC D E 甲 乙 解析 连接AD 3BE 6AE 3ABBE 3 ABDBDE SS 又 4BDDC 2 ABCABD SS 6 ABCBDE SS
