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1、2015年高三第四次全国大联考统考【新课标I卷】理科数学试卷第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合,则( )A. B. C. D. 2. 如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是, 设复 数,则的共轭复数为( )A. B. C. D.3.已知角的终边过点,则( )A. B. C. D.4. 在某项测量中,测量结果 服从正态分布 ,若在内取值的概率为,则在内取值的概率为( )A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.0.95.已知函数,则 ( )A B C D6.某几何体的三视图如图所示,图中方格的长度为,则
2、该几何体的外接球的体积为( )A B C D7. 设分别是等差数列的前n项和, 若 ,则( )A B C D8. 执行如图的程序框图,如果输入,那么输出的的的最小值是( )A B C D9. 已知双曲线方程,以为 圆心,实半轴长为半径作圆,过双曲线的焦点作圆的两条切线,切点为,若四边形为正方形,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.10.直三棱柱中,底面是正三角形,三棱柱的高为,若是中心,且与平面所成的角大小是,则三棱柱的体积为( )A. B. C. D.11. 已知,对任意,若不等式恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D. 或12. 已知,若不等式对于任意恒成立,则的取值范
3、围为( )A B C D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知,则二项式的展开式中的系数为 .14. 在四边形中,则 .15.若函数表示减去比它小的整数部分,如,求 .16.如图,过点的直线与抛物线交于不同的两点,与分别与抛物线交于点,设的斜率分别为,的斜率分别为,若,则的值 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知函数,.()求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合;() 在中,角的对边分别为,若,且 ,求 的面积.18. (本小题满分12分)某市教育机构面向社会
4、招聘一批新教师,采用公开招聘,招聘方式分理论考试与讲课两步,先进行理论考试,理论考试合格后,再进行讲课,现将理论考试成绩整理后,绘制出频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为,根据统计,定为理论考试在分以上(含分)为理论考试合格.()现从参加应聘人员中随机抽出一位,求该名应聘人员理论考试合格的概率;(注:频率可以视为相应的概率)ABCO()如果从该次参加应聘人员中随机选取位应聘人员,这位应聘人员的理论考试合格的人数记为,求的分布列及数学期望19.(本小题满分12分)如图,三棱柱中,是的中点,平面平面, ()求证:;()求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点
5、,右焦点为,、是椭圆的左、右顶点,是椭圆上异于、的动点,且面积的最大值为()求椭圆的方程;()若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过 作直线,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.21. (本小题满分12分)设函数,(且),若曲线在点处的切线方程为.()求的值;()若对任意,有且只有两个零点,求的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分22.(本题满分10分) 选修:几何证明选讲如图,已知是的直径,平分交于,交的延长线于点, 是与的交点.若.()求证:;()求的值.23. (本题满分10分) 选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为()求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()试判断曲线与是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由24. (本题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数.()当时,求函数的定义域;()若存在,使得,成立,求实数的取值范围3