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1、二次函数的综合题1 已知：抛物线： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线的解析式； （3）直线与抛物线、的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s, 试用含m的代数式表示s 解：（1）由抛物线C1：得 顶点P的坐标为（-2，-5） -1分点B（1，0）在抛物线C1上， a 抛物线C1的解析式为-2分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称 PM过点B，
2、且PBMBPBHMBG -3分MGPH5，BGBH3 顶点M的坐标为（4，5） 抛物线的表达式为 -4分（3）依题意得，E(-2,)，F(4, )，HG=6 当E点的纵坐标小于-5时，PE=，MF= -5分 当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，PE=，MF= -6分 当F点的纵坐标大于5时，PE=，MF= -7分2.已知二次函数（1） 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛
3、物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长解：（1）证明：令y=0,则=, - 1分又， 即0 无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根该二次函数图象与x轴都有两个交点 -2分（2）解：二次函数的图象经过点（3，6）, .解得 . 二次函数的解析式为. - 3分O（3）解：将向下平移2个单位长度后得到解析式为：. - 4分 解方程组 得 直线与抛物线的交点为 点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是. 设过点、的直线解析式为 解得 直线的解析式为.直线与x轴的交点为. - 5分与直线的交点为. -
4、 6分则点、 为所求 过点做，.在Rt中，.所求最短总路径的长为. 3.关于x的一元二次方程.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点A（，）是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1解：（1）由题意得， 解得，m 解得， m当m0 k 2分k为非负整数，k=0，1 为一元二次方程k=1 3分(2)把k=1代入方程得x2-5x+4=0, 解得x1=1, x2=4mnm=1，n=4 4分把m=1
5、，n=4代入与可得a =4，b=1 5分(3)把y=c代入与可得A(，c) B(,c)，由AB=，可得= 解得c1=2, c2=8，经检验c1=2, c2=8为方程的根。7分 c1=2， c2=86.已知：抛物线与轴有两个不同的交点（1）求的取值范围；（2）当为整数，且关于的方程的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线和轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长解：（1），依题意，得 的取值范围是且 2分（2）解方程，得 3分方程的解是负数， 4分综合，及为整数，可得 抛物线解析式为 5分（
6、3）如图，设最大正方形ABCD的边长为m，则B、C两点的纵坐标为，且由对称性可知：B、C两点关于抛物线对称轴对称抛物线的对称轴为：点C的坐标为 6分C点在抛物线上，整理，得 （舍负） 7分7.已知: 关于的一元二次方程. （1）求证: 方程有两个实数根;（2）求证: 方程有两个实数根;（3）设方程的另一个根为，若，为正整数且方程有两个不相等的整数根时，确定关于的二次函数的解析式；（4）在（3）的条件下，把RtABC放在坐标系内，其中CAB = 90，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5， 将ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求ABC平移的距离。证明：（1） = =
7、 1分 无论n取何值时，都有 方程有一个实数根为 2分 （2） 3分 方程有一个实数根为. 4分 （3）由题意可知：方程的另一个根为 ，为正整数且方程有两个不相等的整数根二次函数的解析式： 5分（4）由题意可知：AB=3， 由勾股定理得：AC=4 C点的坐标为（1，4） 当ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）6分 C在抛物线上 舍去负值 ABC平移的距离： 7分8.已知关于x的方程（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称求这个二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1y2均成立
8、；（3）在（2）的条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点（5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1y3y2均成立求二次函数y3ax2bxc的解析式.解：（1）分两种情况：当m=0时，原方程化为，解得，当m=0，原方程有实数根. 1分当时，原方程为关于x的一元二次方程， . 原方程有两个实数根. 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.3分（2）关于的二次函数的图象关于y轴对称，.抛物线的解析式为.4分 ，y1y2（当且仅当x=1时，等号成立）.5分（3）由知，当x=1时，y1y20.y1、y2的图象都经过（1，0）. 对于x的同一个值， y1y3y2，y3ax2bxc的图象必经过（1，0）. 6分又y3ax2bxc经过（5，0），.设.对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1y3y2均成立，y3y2
