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1、通识学习简报主编：李霞 2013 年 4月 10日第 1 期 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 F.Klein标准中核心概念的解读 在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 在目标里边，已经看到了它的对这些核心概念的一些具体要求，相当于它作为目标的一些要素。但是同时，也能发现它们其实还和的目标和内容领域是密切联系的，所以核心概念有一个承上启下的这样一个作用。上面连着目标，下面联系着内容
2、，是非常重要的，所以也把它称为核心概念。 （一）为什么要设计核心概念 在这次课程标准修订过程中，除了前面说的这些理念，怎么设计这个课程标准，也进行了一个讨论，在提出设计的过程中，有两件事情是的一次进步，一个就是希望课程的这些东西，形成一个整体，反复强调如何整体的把握课程。从知识技能，从过程方法，从情感态度价值观，几何方面来构架整个数学课程。这是一个渗透在整个标准的研制过程中。 第二件事，就是在研制的过程中，就是希望能够凸显出在数学的学习中，总有些东西需要给予高度的重视，因为它反应了数学最要紧的东西，最本质的东西，不仅应该把它当做目标，也应该把它和内容有机的结合起来。记得当时在讨论的时候，就在过
3、去义务教育的基础上，能不能用一些词，把这些东西彰显出来，所以经过讨论，提出了所谓核心概念的这么一个说法。 什么可以成为的核心概念？成为一个讨论的一个重点。也作为设计思想的一个组成部分，也作为确定目标的一个组成部分，经过的讨论，对于核心概念的确定，提出了一些很重要的原则。 比如说能体现数学基本思想的东西，对不能帮助学生积累活动经验的东西，在的知识技能中，没完没了出现，用这么一个词，这些东西才能成为的核心概念。另外，对于学生学习数学和把握数学发挥关键作用的东西，当然也包括引起学生的兴趣，提高学生素养的一些基本的东西。于是，在制订这样一些原则的基础上，通过的讨论，就反复的，记得当时反复的商榷，确定了
4、这十个核心的概念。 所以，核心概念的出现，当然是不是全面，是不是无一遗漏，这个大家都可以讨论。但是这些核心概念，希望老师在的实施过程中，不断的理解、体会，不断的丰富它，不断的为他们提供案例，使在数学的学习中，在学生学习数学的过程中，能发挥更好的作用。就做这么一点说明。 （二）核心概念的理解 1 数感 数感在课程标准里边，在实验稿里边就提出来，在修订稿里边又进一步明确了数感的含义。在这里边，有这样两句话，来帮助理解数感。数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。这是一层含义，是一种感悟，对那些数量、数量关系和估算结果的估计这种感悟。 然后第二句话的含义是建立数感，有助于学生理
5、解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。这两层意思都是，前一层，第一层意思就是说，数感，什么是数感，怎么样，数感它是一种感悟，对数量、对数量关系结果估计的感悟；第二层意思就是数感它的功能。 知道学习数学是要会数学的去思考问题，一个本质的问题，就是要建立数学思想，而数学思想一个核心的数学思想，第一位就是抽象，而抽象对数的抽象，又是最基本。数感是一个什么样的一个一种东西，这里边讲的是对数与数量、数量关系的感悟。比如说最简单的，要建立数感，什么样标志成建立数感，你就看着一个事物，对一个事物你不只是理解它物，物质的，它这个现实的表现是什么样，你还要看出来，它从数量的关系。 你比如说，去到
6、一个大礼堂，到一个大礼堂，看有很多座位，一般人说看到了座位，看到的座位，比如说可以看到座位是什么颜色，座位用什么东西做的，它是不是耐用，它是不是舒服，但是，你如果是具有数学的思考问题的，或者说叫学了数学的人，有一定数学素养的人，他就肯定想很快的想到，这个礼堂的座位，大致有多少个座位，它一行有多少座位，它可能有多少行。 这个简单的例子就说，具有数学素养的人，他能够用数学去看到一个具体事物，用数学的观点或者是数量化的去看问题。这个东西就可以把它叫做数感，前面提出要发现问题，提出问题的能力。其实要能发现问题，提出问题，这里指的数学问题，数感是非常重要的，你看到一个事物，你如果没有数感，你就不能从数和
7、数量、数量关系中来看待这个问题，所以说，说在学生学习数的时候，要注重去培养学生的数感，让他有这种感悟。 数感的学习，其实是和数的抽象，数的运用相连的，在学习数概念的时候，要帮助学生们建立数感，另外一个对于计算结果的估计，有数学素养的人，其实有一个当你计算一个问题的时候，直观上，你会看到，它是对还是错。比如说一个，两个一位小数，如果相乘的话，比如 3.5 4.8 ，一个数你很快估计它的正误。 运用，学生如果有比较强的数感，建立了数感以后，他能够更好的去解决现实中的问题，来利用它去分析现实中的数量关系，对学生将来的生活和进一步的学习，包括学习数学知识和学习其他知识其实都是非常重要的。 支撑数感的数
8、学内容有很多，比如说对单位这件事，在一个情景中，碰到一些量，总要选择一个单位来刻画它，那你这样一种感悟，对于建立起对这个数量的刻画非常重要，还有数量关系要这样。 比如说一个价钱，一个数量，比如说一件东西一千块钱，那就发现可能数量的多少，对于总价的影响会很大。多一个就多一千，对不很多东西都需要在这个衡量数学，数量关系中进行衡量，要选择哪一个量会对的结果产生更大的影响，所以这样的一种感悟，对于标准中说的，理解现实生活中数的意义，理解具体情境中的数量关系，将会发挥非常重要的作用。它可能不仅仅是知识和技能所能体现出来的一些，一种感悟的。 对于单位的感觉，对于数量级的感觉，这个是非常重要的。比如说让学生
9、去体验，去称一个人的重量要用什么单位，称一个铅笔的重量用什么单位，称一头大象的重量用什么单位，可能选择不同的这种单位，其实也是一种数，也是一种数感，可能有的是用克，有的用千克，有的可能用吨，所以这个其实也是一种数感。 标准中举了一些例子，希望老师在研读的过程中，可以结合这些例子去感悟这件事情。 当然在如何培养数感的问题上，老师们可能在教学当中，还要有很多的工作要去做，就是因为数感，可能和以往对数的知识的学习，还有很大的不同，因为数感一定要创造这样一些机会，它不像比如数的运算，单位换算等等这样，好像直接，对于那种基础知识和基本技能，可能更容易老师们去用一种训练的方法，来让学生们去学习，而数感，感
10、觉第一是一个长期的过程，不是一天两天就能够让学生能够，就是感受的，或者说能够在这方面有很好的感觉的，它一定要在活动当中，逐渐的去积累，对数的这样一种认识。换句话说要积累相关的经验，所以这点，可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。 2 符号意识 关于符号意识，注意到它在用词上，标准的修改稿和实验稿有一个区别，原来是叫符号感，现在把它称为叫符号意识，是这样，因为符号感，这个感更多的是一感知，可能是一个最基本的这样一个层次。而符号意识对符号的学生理解它，学习它的要求就要更高一些。在标准里边它是这样来表述的，符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。就是用符号来表示，表示什
11、么，表示数，数量关系和变化规律，这是一层意思。 还有一层意思，就是知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得一个结论具有一般性。所以标准上，大概用分号隔开是两层意思，一个是会表示，另外一个进行分开进行推理，得到一般性的结论。进一步标准就说了，符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要的形式。 符号在数学中的重要性，应该是老师们都能够，学个数学，也了解一些数学史的东西，可以知道符号在数学整个发展历史上，它的重要性，另外也常常这样说，就是小学更多研究的是算术的东西，到了初中，更多的是研究的是代数的东西，代数的内容，也更多的是以符号的引入作为一个标志，所以从算术到代
12、数，也是一个认识上的一个飞跃，也是数学能够从一些具体的东西，上升为一般的东西这样一个标志。 所以符号，实际上它不是表示一些具体的东西，它可以用来代表一类东西了，比如说，用 A 不仅可以表示 5 ，可以表示 8 ，可能还可以表示更多的，同类的一类东西，另外符号还可以表示两类事物的关系，两类事物的关系，同时说符号也是研究对象的一种办法。 从这么几个方面来说明符号意识，在整个学习数学中的重要。首先说，数学有这样的说法，是一种语言，数学的语言，有几个基本的特征，一个是数学的普通化，通常所说自然语言，一个是图形语言，这是数学里独特的东西。另外就是符号语言，作为语言，符号语言是数学里一个完整的东西，某种意
13、义上是一个体系，所以从这个角度来说，提升符号意识，对于学习数学，是非常重要的。 因为符号可以简洁、准确的表达需要表达的一些东西，交流起来就方便，就像画一个直角三角形，在写一个公式， A 方加 B 方等于 C 方，每个人看到这个图，看到这样符号的语言，马上就会反应，这是勾股定理。 讲一个故事，在数学科学院的房顶上，曾经做了一个很大的一个直角三角形，旁边有一个公式， A 方加 B 方等于 C 方。每一天向太空发信息晚上，他们开玩笑的说，希望其他星球的高级动物，路过地球的时候，能够感悟到这有高级动物懂得勾股定理。所以符号是一种非常重要的语言的组成部分，它代表了数学一个重要的方面。这是一个。 第二个如
14、何理解符号的体系，实际上最熟悉的符号就是数字，是用十个数字加进位，就能把周围世界的所有，通常所说的几何所谈元素的多少，表达清楚。恐怕这是历史上人类最大的贡献，就是通常所说的十进制，这是认识符号的一个很重要的阶段。还可以去表示数值间的关系， 5 6 等于 30 ，等号不等号，就初步的为沟通了一个数量之间的关系。 所以，当讨论问题的时候，等量关系和不等量关系，包括依赖关系，这些都是数学中最基本的关系。 刚才又强调了，从小学到初中，要经历一个非常重要的过渡，就是从算术到代数，从算术到代数最重要的一个变化，或者说最重要的一个区别，算术思维和代数思维一个重要的区别，就是算术是一个又一个的解决问题，解决具
15、体的问题。而的代数，是一批一批的解决问题，就像说的如果鸡的个数是 X ，兔子的个数是 Y ，那马上就可以得到， X+Y=N ， 2X+4Y=M ，就把所有的鸡兔同笼问题，用这样一个符号表达清楚了，是不是。 所以符号所起的作用，是从算术到代数过渡中的一个非常关键的一个，一个台阶吧，所以帮助孩子从算术到代数过渡发展的过程中，培养学生的符号意识，是一个非常重要的载体。 到了初中，就刻画一类的问题，方程，一次方程，二次方程，二元一次方程组，它就帮概括出一类的数学问题，使得在研究数学问题的过程中，非常的方便。 同时又为形成模型奠定了基础，无法想象没有符号怎么去刻画模型，所以，刚才分析的符号的意识，在数学
16、的学习中，是非常重要的一件事情。希望做好这些事情，这样会帮助学生不断的提升他们的数学素养。 3 空间观念和几何直观 空间观念是原来大纲里有的，现在在原来的基础上，做了一个进一步的刻画，是这么描述的，空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。这是对于空间观念的一个刻画。 这两个概念，有的时候容易混淆在一起，放在一起介绍，就可以更清楚了解它们之间的联系区别。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。 刚才空间观念，有这么几个纬度，理解的纬度。第
