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1、费马点最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山费马尔问题思考：如何找一点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。 费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最
2、小，解决问题的方法是运用旋转变换秘诀：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120.求证：GA+GB+GC的值最小.变式练习1如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长 变式练习2若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站
3、P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值变式练习3如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB500米，AD800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A（6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CDAC，过点D作DEAB交BC的延长线于点
4、E（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线ykx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线ykx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短（要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明）例题5. 如图1，已知一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C（1）求b、c的值；（2）如图
5、1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接QR求证：PGRQ；求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则AP+BP+CP
6、的最小值为（）A+B+C4D33如图，四边形ABCD是菱形，AB4，且ABCABE60，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为4将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，ABC30，点P为平面内一点（1）ACB度；（2）如图，将APC绕点C顺时针旋转60，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3）AP+BP+CP的最小值为5如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB10公里，BC15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小
7、值为公里 6已知，在ABC中，ACB30（1）如图1，当ABAC2，求BC的值；（2）如图2，当ABAC，点P是ABC内一点，且PA2，PB，PC3，求APC的度数；（3）如图3，当AC4，AB（CBCA），点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为7如图l，在ABC中，ACB90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP3，AB6，求CE的长（2）如图3，以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，连接PA、PB、PC，当AC3，AB6时，根据
8、此图求PA+PB+PC的最小值8（1）阅读证明如图1，在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离如图2，已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A，B，C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D易知P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+；第三步：根据（1）中定义，在图3中找出ABC的费马点P，线段的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的ABC（其中A，B，C均小于120），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值
