《7.7二元函数的极值和最值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7.7二元函数的极值和最值.ppt（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7 7二元函数的极值与最值 教学要求 1 理解二元函数极值和条件极值的概念 3 会用拉格朗日乘数法求条件极值 2 掌握二元函数极值存在的必要条件 充分条件 会求二元函数的极值 4 会求简单二元函数的最大值和最小值 并会解决一些简单的应用问题 如果f x 在闭区间 a c 上连续 则f x 在 a c 上必定能取得最大值与最小值 复习 一元函数的极值 最值 1 极值 由P146极值点定义 端点没有资格做极值点 极值点一定在区间内部 2 最值 闭区间上连续函数最值只能在极值点和端点处取得 在区间 a b 上 区间 a c 上 x o y a c b 可见 为什么要单独考虑端点 因端点没有资格做极值
2、点 但可能取最值 而极值点只会在驻点和不可导点处 闭区间上连续函数最值只能在极值点和端点处取得 所以闭区间上连续函数最值只能在 驻点 不可导点和端点 处取得 1 求闭区间 a b 上连续函数最值的步骤 2 PK 以上各函数值中最大的即为最大值 最小的即为最小值 1 求出f x 在 a b 内的可疑最值点 驻点 不可导点 区间端点 及其函数数值 注 对这些可疑最值点不需采用第一或第二充分条件确认其是否为极大 小 值点 闭区间上可导函数最值只存在于驻点 端点 二元函数极值播放 一 多元函数的极值 1 引例 2 二元函数极值的定义 1 2 3 例1 例 例 3 多元函数取得极值的条件 证 类似一元函
3、数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 注 可导函数的极值点 驻点 3 问题 可导函数的驻点未必是极值点 那什么样的点才是极值点呢 这是寻找极值点的条件 充分 定理2 极值存在的充分条件 证略 ABC法则 ABC法则只适用于二元函数 解 类似P295 296例1 例2 P325第23题简单而重要 1 定理 详见P72性质1 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值 A闭区域D上可导函数的最值一般求法 注 极值点 见P107定义 和驻点 见P75偏导定义 一定是内点 驻点 极值点 1 求出函数在D内部的一切可疑极值点 驻点 处的函数值 驻点 边界上的最值 比较这些函数值的大小 最大的就
4、是函数在D上的最大值 最小的就是函数在D上的最小值 内点 边界上 3 PK 注 可疑极值点 驻点 无需用ABC法则确认其是不是真正的极值点 why A闭区域D上可导函数的最值一般求法 2 求函数在区域边界上的最值 类似题 P325 25 2 B实际问题最值的求法 则该驻点必为所求的最值点 若只有唯一驻点 最值不会在边界上 为什么 对该唯一驻点无需用ABC法则判断其是否为极值点 即不会在极端情况取得 四个条件缺一不可 若实际问题存在最值 且目标函数为可导函数 类似题 P297例3 P299例5 P325 27 28 根据实际问题的意义 引例 1 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还
5、有别的条件限制 这种情况下的极值称为条件极值 相应地 前面讨论的极值称为无条件极值 有时条件极值可转化为无条件极值来求 如P301例6 此为 降元法 但并非所有条件极值都能用 降元法 求解 下面介绍新方法 2 拉格朗日乘数法 说明F x y 的可能极值点为上述方程组确定的 x y 课外阅读 课外阅读 拉格朗日乘数法的具体应用 解出 x y 即为可疑极值点 判别可疑极值点是否为极值点通常由实际问题来定 不需用ABC法则 解出 x y z 即为可能极值点 8 解 构造拉格朗日函数 类似题 P302例7 P303例9 P325 24 26 29 31 作业 P32523 1 25 2 27 29 一
6、 条件极值 以二元函数为例 求函数 以下内容为课外阅读 由一元函数极值得 分析 确定隐函数 可化为 有连续的一阶偏导数 条件极值点的必要条件 此方程组为 Lagrange sMethod Tomaximizeorminimize subject ofequations criticalpointfortheconstrainedextremum 二 应用 解 构造Lagrange sFunction 或调用Matlab软件中命令constr来计算有约束的极小问题 计算结果 即应该雇佣250个劳动力而把其余的部分作为资本投入 可获得最大产量 Kuhu Tucker驻点条件 拉格朗日乘数法 例7 把一个正数a表为三个正数之和 使其乘积最大 求这三个数 解 从而有 不作要求 Solution 四 总结 拉格朗日乘数法步骤 1 寻求目标函数和约束条件 2 构造拉格朗日函数 3 求解拉格朗日函数的驻点 思考题 求坐标原点到曲线的最近距离 其中
