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1、东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（理科）第卷（选择题共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.记复数的虚部为，已知满足，则为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算求得，从而可得虚部.【详解】由得： 本题正确选项：【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.3.已知公比不
2、为的等比数列满足，若，则（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可求得，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得： 本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.4.表示的曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.【详解】可看作动点到点的距离可看作动点到点的距离则表示动点到和的距离之差为符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双曲线的下半支则：， 曲线方程为：本题正确选项：【点睛
3、】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.5.已知向量，命题，命题使得成立，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据可知；若，可知或；综合可得结果.【详解】若，则， 则命题是命题的充分条件若，则，解得：或则命题是命题的不必要条件综上所述：命题是命题的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B. C. D. 2【答案】A【解析】由三视图可得几何体
4、的直观图如图所示：有：面ABC，ABC中，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学
5、生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为( )A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种【答案】C【解析】【分析】采用插空法即可求得结果.详解】采用插空法可得安排方法有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题.8.已知，则( )A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B【解析】【分析】分别取和，得到系数间的关系，通过作和可求得结果.【详解】令，则令，则两式作和得： 本题正确选项：【点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关系.9.
6、设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数运算将变形为和，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.【详解】；又 本题正确选项：【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.10.已知函数在上有最小值，则的最大值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案.【详解】函数，在上有最小值1，根据余弦函数的性质，可得可得，故选：【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题11.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有
7、的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12.己知椭圆直线过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
8、假设直线方程，求得圆心到直线的距离，利用弦长等于可构造关于的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为设直线方程为：，即则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离，整理得：椭圆的离心率为本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程.第卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出
9、的_.【答案】3【解析】【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解与的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：，则，不满足，循环；则，不满足，循环；则，不满足，循环；则，满足，输出解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数因为与的最大公约数为 本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.14.已知三棱锥中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥的外接球体积为_【答案】【解析】【分析】当三棱锥侧面积最大时，两两互相垂直，可知以，为长、宽、高的长方体的外接球即为三
10、棱锥的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥的侧面积为：，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，两两互相垂直以，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有三个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数有三个零点等价于与有三个不同的
11、交点当时，则在上单调递减，在上单调递增且，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则本题正确结果：【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.16.已知数列中，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_【答案】【解析】【分析】令，可知；假设，利用可求得，得到和；根据可求得，进而得到.【详解】若，则令，则 ， 经验证，时，满足综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列前项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程
12、或演算步骤.） 17.在中，的面积等于，且（）求的值；（）求的值【答案】（）1；（）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得 的的值，利用二倍角公式求得的值.详解】解：（）由已知得整理得解得或因为，所以（）由正弦定理，即所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始
13、，每完成一单提成5元该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取100天的数据，将样本数据分为25，35），35，45)，45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方 案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【
14、答案】（1）；（2）；（3）选择方案（1），理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得快递业务量不少于单的频率之和即为所求概率；（2）分别计算从四名骑手中随机选取人的情况和至少有名骑手选择方案（）的情况，根据古典概型求得概率；（3）利用频率分布直方图估计快餐店人均日快递量的平均数，从而可求得两种方案的平均日工资，通过平均日工资的多少可知应选择方案（）.【详解】（1）设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：，（2）设事件为“从四名骑手中随机选取人，至少有名骑手选择方案（）” 从四名新聘骑手中随机选取名骑手，有种情况其中至少有名骑手选择方案（）的情况有：种情况（3）由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：方案（）平均日工资约为： 方案（）平均日工资约为：可知方案（）平均日工资低于方案（）平均日工资故骑手应选择方案（）【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总
