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1、探讨有关极值与最值的几个问题极值是函数在某区域内的性质,最值是函数的一个整体的性质,而极值与最值之间有着极为重要的联系,如何正正确的理解两者之间的关系,是处理这类问题的关键,下面对极值与最值有关的几个问题作简单的探究,以供大家鉴赏:一、判断函数极值、最值存在性问题思维提示:函数极值存在性可由极值的定义来判断,也可用求导的方法来判断,但应注意极值点与导数的区别与联系.例1、判断函数在处能否取得极值?解析:1、(定义法)当时,在的附近区域内,有正有负,不存在(或),因此,在处取不到极值.2、(导数法)由,当时,;当时,因此,在是增函数,因单调函数没有极值,所以在处取不到极值.点评:是函数在处有极值
2、的必要条件,不是充分条件,如果在加之附近导数的符号相反,才能断定在处取得极值;在区间上的单调函数是没有极值的,像这样的重要结论应熟记.二、求解函数的极值、最值思维提示:求可导函数的极值的核心是:解方程;列表;结合图象;确定的值.例2、设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为求,的值;求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值解析:为奇函数,即, 的最小值为,又直线的斜率为因此,列表如下:极大极小所以函数的单调增区间是和,在上的最大值是,最小值是点评:利用导数确定函数的极值,先求出的全部实根,在检查和 的根左、右两侧的符号,如果左正右负(或左负右正),那么在这个根处取得极大值(或极小值),求最值时,再将这些极值与端点的函数值作比较.三、函数极值的逆向思维的应用思维提示:从逆向思维出发,将问题由已知向未知转化.例3、如果函数在时有极值,极大值为4,极小值为0,试求的值.解析:由题意得,令,即是极值点,当变化时,与的变化情况如下表: 01+000+极大极小极小 由上表可知,当时,有极大值,当时,有极小值若时,同理可得.点评:运用待定系数法,从逆向思维出发,实现了问题由已知向未知的转化,在转化过程中,利用了列表,解决了待定系数的问题,有些同学忽视对的讨论,误将作为正数处理.3