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1、长安一中高2016级高三第二次教学质量检测数学试题（理科）时间：120分钟 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则等于( ) A B C D2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）AB CD3. 要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）An2017Bn2017Cn2017Dn2017 4 2017年3月2日至16日，全国在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）A，y1y2B，y1=y2
2、C，y1=y2D，y1y25已知函数给出下列两个命题，p：存在，使得方程f（x）=0有实数解；q：当时，f（f（1）=0，则下列命题为真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）Dp（q）6若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C.或 D. 以上答案均不对 7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）ABCD8如图所示，已知菱形ABCD是由等边ABD与等边BCD拼接而成，两个小圆与ABD以及BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）ABCD9. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时， 则 的解集为（）ABCD10
3、. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A72B120C192D24011椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是（ ）A.B.C.D.12定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）A BC.D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 正项等比数列an中，则的前9项和 14面积为的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则= 15. 已知实数，满足不等式组且的最大值为，则= 16. 等腰ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则ABC的面积最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，（1）求C；（2）若，且ABC面积为，求的值18. （12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值19. （12分）大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；（2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率20. （12分）已知椭圆：
5、的离心率为，圆的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21.（12分）已知函数, （1）若和在（0，+）有相同的单调区间，求a的取值范围；（2）令，若在定义域内有两个不同的极值点求a的取值范围；设两个极值点分别为，证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。22.（10分）选修4-4：参数方程与极坐标系已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半
6、轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.23. （10分）选修4-5：不等式选讲.设函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.长安一中高2016级高三第二次教学质量检测数学试题答案（理科）一、选择题1-5: C B B B B 6-10: A D D A D 11-12：C D二、填空题13. 26 14. 15. 16. 6 【解析】设AB=AC=2x，AD=
7、x设三角形的顶角，则由余弦定理得cos=，sin=，根据公式三角形面积S=absin=2x2x=，当x2=5时，三角形面积有最大值 6故答案为：6三、解答题17解：（1）2sinsin（+C）+cosC=，sin（+C）+cosC=， cosCsinC+cosC=，sinCcosC=， sin（C）=，C=；（2）c=，且ABC面积为3，13=a2+b2ab， =3，a=3，b=4或a=4，b=3，2R=， sinA+sinB=7=18. （）证明：四边形是菱形，. 又平面，平面，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.（）解：设，因为，所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，.
8、设平面的法向量为，则则解得，令，得，设与平面所成角为，则，则与平面所成角的正弦值为19. （）设表示事件“水果产量为”，表示事件“水果市场价格为元/”，则，利润产量市场价格成本，的所有可能取值为：，；的分布列为：280004000044000600000.20.20.30.3（万元）（）设表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则20。解：（1）由椭圆的离心率e=，则a=c，b2=a2c2=c2，由x2+y22y=0的标准方程x2+（y1）2=1，则b=1，c=1，a=，椭圆的标准方程：；（2）假设存在Q，使得满足，设A（x1，y1），B（x2，y2）直线l：y=2x+m，则Q
9、（x0，y0），P（p，），则=（x1p，y1），=（x0x2，y0y2），由，则，则，整理得：9x2+8mx+2m22=0，则=（8m）249（2m22）=8（9m2）0，解得：3m3，则x1+x2=m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m， 则x0=mp，y0=m，由Q（x0，y0）在椭圆上，则x02+2y02=2，（mp）2+2（m）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2m+32=0有解，则2=（16m）249（8m2m+32）=64832（m）20，解得：3m12， 无交集，因此不存在Q，使得21 解：（）f（x）=xlnxx，x0，求导f（x）=lnx，令f（x）=0，解得：x=
10、1，则当f（x）0，解得：x1，当f（x）0时，解得：0x1，f（x）单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2ax（aR）在（1，+）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a0，a的取值范围（0，+）；（）（）依题意，函数h（x）=f（x）g（x）ax=xlnxxx2的定义域为（0，+），求导h（x）=lnxax，则方程h（x）=0在（0，+）有两个不同根，即方程lnxax=0在（0，+）有两个不同根（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，如图可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为
11、k，只须0ak令切点A（x0，lnx0），则k=y=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，0a；解法二：令g（x）=lnxax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g（x）=ax=（x0）若a0，可见g（x）在（0，+）上恒成立，g（x）在（0，+）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点若a0，在0x时，g（x）0，在x时，g（x）0，g（x）在（0，）上单调增，在（，+）上单调减，从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g（）=ln1，又在x0时，g（x），在x+时，g（x），于是只须：g（x）极大值0，即ln10，0a，综上所述，0a；（）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程l
12、nxax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1x2，作差得，ln=a（x1x2），即a=，原不等式x1x2e2等价于lnx1+lnx22，则a（x1+x2）2，ln，令=t，则t1，ln，则lnt，设g（t）=lnt，t1，g（t）=0，函数g（t）在（0，+）上单调递增，g（t）g（1）=0，即不等式lnt，成立，故所证不等式x1x2e2成立22解：（I）直线的一般方程为，曲线的直角坐标方程为.因为，所以直线和曲线相切.（II）曲线为.曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为，则点的参数方程为（为参数），所以，所以的取值范围.23.解：（I）当时，原不等式等价于，即，所以解集为.（II）当时，.令由图象，易知时，取得最小值.由题意，知，所以实数的取值范围为- 11 -
