数字信号处理-数字滤波器设计.ppt

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1、数字滤波器 DigitalFilter DF 济南大学自动化学院测控技术教研中心 数字信号处理 概述IIR数字滤波器的基本网络结构FIR数字滤波器的基本网络结构IIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的频率变换FIR数字滤波器的设计方法FIR数字滤波器与IIR数字滤波器的比较 主要内容 第一节概述 数字滤波器的概念滤波器的分类滤波器技术要求数字滤波器的结构表示 1 1数字滤波器概念 滤波器 指对输入信号起滤波作用的装置 对线性移不变系统 有 时域 频域 2 数字滤波器 当输入 输出是离散信号 滤波器的冲激响应是单位抽样响应h n 时 这样的滤波器称作数字滤波器 H ej 为矩形窗时的情形 一

2、 按实现方法分模拟和数字滤波器1 模拟滤波器 AnalogFilter AF 只能硬件实现 R L C Op 开关电容 2 数字滤波器 DigitalFilter DF 硬件实现 延迟器 乘法器和加法器 软件实现 线性卷积的程序 1 2滤波器的分类 二 一般分为经典滤波器和现代滤波器 1 经典滤波器 假定输入信号中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带 经典滤波器从功能上分 低通 LP 高通 HP 带通 BP 带阻 BS 均有AF和DF之分 若信号和噪声的频谱相互重迭 经典滤波器无能为力 模拟 数字 模拟 数字 2 现代滤波器 从含有噪声的时间序列中估计出信号的某些特征或信号本身 现代滤

3、波器将信号和噪声都视为随机信号 包括WienerFilter KalmanFilter 线性预测器 自适应滤波器等 三 从设计方法上分 AF ButterworthFilterChebyshevFilterEllipseFilterBesselFilterDF FIR 根据给定的频率特性直接设计IIR 利用已经成熟的AF设计方法设计 一 模拟低通滤波器的设计指标有 通带截止频率 阻带截止频率 通带中的最大衰减系数 阻带的最小衰减系数 通 阻 1 3滤波器的设计要求 若处幅度已归一化到1 即 则有 数字滤波器的传输函数 二 数字低通滤波器的设计指标 阻 通 通带截止频率 通带允许的最大衰减 阻带

4、截止频率 阻带允许的最小衰减 3dB通带截止频率 通带 阻带的容限 允许误差 分别定义为 式中均假定 归一化 当时 1 系统函数和差分方程 系统函数和差分方程DF的基本运算DF的结构表示法 1 4数字滤波器的结构表示 2 实现DF的基本运算实现滤波 对输入序列x n 进行一定的运算操作 从而得到输出序列y n 从运算上看 只需三种运算 加法 单位延迟 乘法因此实现的方法有两种 1 利用通用计算机编程 即软件实现 2 数字信号处理器 DSP 即专用硬件实现 3 数字滤波器的结构表示法A 方框图法方框图法简明且直观 其三种基本运算 如下图所示 B 信号流图法三种基本的运算 几个基本概念 输入节点或

5、源节点 所处的节点输出节点或阱节点 所处的节点分支节点 一个输入 一个或一个以上输出的节点相加器 节点 或和点 有两个或两个以上输入的节点 支路不标传输系数时 就认为其传输系数为1 任何一节点值等于所有输入支路的信号之和 1 例和点 1 5 分点 2 3 4 源点 6 阱点 7 2 3 5 4 6 7 a1y n 1 y n 第二节IIR数字滤波器的基本网络结构 直接I型直接II型级联型并联型转置定理 IIR滤波器的系统函数 差分方程 N阶 IIR滤波器的特点1 单位冲激响应h n 是无限长的 2 系统函数H z 在有限Z平面 上有极点存在 3 结构上是递归型的 即存在着输出到输入的反馈 N阶

6、IIR滤波器的直接I型流程图 1 直接按差分方程可以画出结构流图 2 1直接I型 直接I型 先实现 再实现 2 直接I的特点 其中 第一个网络实现零点 即实现x n 加权延时 第二个网络实现极点 即实现y n 加权延时 可见 第二网络是输出延时 即反馈网络 共需存储延时单元和乘法器各 M N 个 当IIR数字滤波器是线性非移变系统时 有 直接II型 先实现 再实现 反馈在前 两列延迟 2 2直接II型 N阶IIR滤波器的直接II型流程图 特点 先实现系统函数的极点 再实现零点 需要N个延迟器和2N个乘法器 证明 由上图可知 上述方程两边同时进行ZT 得 整理上式得 所以直II型结构的系统函数为

7、 例数字滤波器的结构如下图所示 1 写出它的差分方程和系统函数 2 判断该滤波器是否因果稳定 解 1 直II型结构的二阶基本节 2 极点 极点均位于单位园内 系统稳定 故系统为因果系统 先将系统函数按零 极点进行因式分解 其中 pk为实零点 ck为实极点 qk qk 表示复共轭零点 dk dk 表示复共轭极点 M M1 2M2 N N1 2N2 2 3级联型 再将共轭因子展开 构成实系数二阶因子 则得 为了方便 分子取正号 分母取负号 这样 流图上 最后 将两个一阶因子组合成二阶因子 或将 的系数均为正 一阶因子看成是二阶因子的退化形式 则有 当 M N 2 时 直II型结构 称为滤波器的二阶

8、基本节 则 对系统函数 其中 为实系数 基本结构 二阶基本节 田字型 结构 特点 1 二阶基本节搭配灵活 可调换次序 2 可直接控制零极点 仅影响第k对零点 同样 仅影响第k对极点 便于调节滤波器的频率特性 3 存储器最少 4 误差较大 级联的形式 导致了误差会逐级传递 注意 会出现 或者 通常M N时 共有 N 1 2 节 将H Z 展成部分分式形式 其中 均为实数 与 复共轭 当M N时 不包含 项 M N时 该项为C 2 4并联型 例 M N 3时 所以 其中 为实系数 称为滤波器的二阶基本节 基本结构 一阶基本节和二阶基本节 特点 1 可单独调整极点 不能直接控制零点 2 误差小 各基

9、本节的误差不相互影响 3 速度快 系统函数 IIR滤波器并联结构图 2 5转置定理 第三节FIR数字滤波器的基本网络结构 直接型级联型快速卷积型线性相位型频率取样型 FIR数字滤波器是一种非递归结构 其冲激相应是有限长序列 FIR系统仅在处有N 1阶极点 在其它地方没有极点 有 N 1 个零点分布在有限Z平面内的任何位置上 3 1直接型 差分方程 系统函数 FIR滤波器直接型结构图 特点 只含前向通路 直I型流图是什么样 线性移不变系统的卷积公式 用转置定理可得另一种结构 3 2级联型 系统函数 为实系数 FIR滤波器级联型结构图 因式分解 二阶节无反馈 特点 1 每一个基本节控制一对零点 2

10、 乘法器较多 3 遇到高阶时难分解 3 3快速卷积型 已知两个长度为N的序列的线性卷积 可用2N 1点的循环卷积来代替 FIR滤波器输出 1 延长 使 N 2 计算 3 计算 4 计算 特点 能对信号进行高速处理 需要实时处理时采用此结构 FIR滤波器快速卷积型结构图 3 4线性相位型 线性相位的概念FIR线性相位的条件FIR线性相位的特点FIR线性相位的结构 线性相位 是的线性函数 一 线性相位的概念 系统的频率响应 其中 为幅度响应 为相位响应 群延迟 它是表示每个频率分量的延迟情况 当其为常数时 就是表示每个频率分量的延迟相同 即线性相位的 如图象处理 数据传输都要求有线性相位特性 二

11、线性相位的条件 如果FIRDF的单位抽样响应h n 为实数 且满足 其对称中心在 则 可证filter就具有准确的线性相位 N又分为偶数和奇数两种情况 所以有4种线性相位FIRDF 1 N为奇数的偶对称例如N 11 满足 对称中心为 2 N为偶数时的偶对称例如N 10 满足 对称中心为 3 N为奇数时的奇对称例如 N 11 满足 对称中心为 4 N为偶数时的奇对称例如 N 10 满足 对称中心为 4 5 三 线性相位的特点 分为奇 偶对称两种情况 以偶对称为例讨论 A 频率响应 B 零点的分布 C 系数特点 A 以条件为例 分析此时幅度和相位响应 的Z变换为 前 后 变量代换n N 1 n 上

12、式有问题 N的奇偶要讨论 1 当N为偶数时 令 则系统的频率响应为 偶对称 相位 幅度 令 所以系统的幅度响应和相位响应为 则上式可写为 分析 幅度函数是一个标量函数 可以包括正值和负值 相位特性是严格线性的 对呈奇对称 2 当N为奇数时 前 后 中 多一项 令 则系统的频率响应为 代换 令 所以系统的幅度响应和相位响应为 特点 对呈偶对称 相位特性是严格线性的 偶对称时的线性相位特性 可以证明 当时 滤波器的相位响应为 所以 B 线性相位FIRDF系统函数的零点分布1 零点的分布原则 因为 考虑奇对称有 所以 如果是零点 h n 为实数时 H Z 的零点必成共轭对出现 则 也一定是H Z 的

13、零点 也一定是H Z 的零点 则 2 零点的位置 1 既不在实轴上 也不在单位圆上 则零点是互为倒数的两组共轭对 2 不在实轴上 但在单位圆上 共轭对的倒数就是它们本身 如 3 在实轴上 不在单位圆上 实数零点 没复共轭 只有倒数 例如 4 既在轴上也在单位圆上 此时 只有一个零点 且有两种可能 或位于Z 1 或位于Z 1 解 若滤波器的单位取样响应为实序列 则当为其零点时 也为零点 例已知线性相位FIR滤波器的单位取样响应为实序列 为的一个零点 求的其它零点 C 线性相位FIRDF系统函数的系数特点 系统函数多项式的系数是镜像对称的 如一个四阶系统的的形式是 例 已知线性相位FIR滤波器的单

14、位取样响应 则的值分别为多少 解 线性相位FIR滤波器的单位取样响应的系数具有奇对称或偶对称的性质 即 或 四 线性相位的网络结构 1 如 当 且N为偶数时 一般横向滤波器结构 考虑线性相位的对称条件 N 1 2 结构流图如下所示 N 1 2 2 当 且N为奇数时 其结构流图为 N 2 问 奇对称的流图 根据频率取样理论 已知 长度为N的有限长序列的z变换可用围绕单位圆上的N个等间隔的取样值来表示 即 内插函数 其中 为 取样 3 5频率取样型 上式为实现FIR滤波器提供了另一种结构 由两个串联网络组成 即 其串联网络如下图所示 问题 IIR可以有频率取样型的结构么 答案 没有 因为IIR的h

15、 n 无限长 无法DFT 1 第一节网络 这是由N节延迟线组成的梳状滤波器 差分方程为 结构流图为 代入 可得频率响应 由频率特性定 其对应幅度响应为 幅频特性表示如图 梳状滤波器 2 第二个网络 可见 为一阶 则第二个网络是并联的一阶网络 其中 即 每个一阶网络在单位圆上有一个极点 是一个谐振器 分析 因 的特点 1 由N个谐振器并联的网络 有N个极点 2 网络对 k 0 1 2 N 1 的响应为无穷大 并联谐振器的极点正好各自与梳状滤波器的零点相抵消 从而使这个频率上的响应等于H k 3 两级网络级联 由和联接起来的网络 频率取样结构 如下图所示 FIR系统频率取样结构的主要特点是 并联谐

16、振器的系数 就是FIR滤波器在处的响应 因此控制其响应是很直接的 缺点 1 所有的相乘系数和都是复数 复数乘法比较麻烦 2 所有谐振器的极点均在单位圆上 如果滤波器的系数稍有误差 极点就可能移到单位圆外 系统不容易稳定 为克服上述缺点 采取两项措施 1 将谐振器的极点从单位圆上向内收缩 使极点处在半径为r的圆上 r稍微小于1 则为 2 使系数的复乘法运算变成实数相乘 可使复一阶网络用实系数的二阶网络来实现 如果为实数序列 则具有共扼对称性 即 第四节IIR数字滤波器的设计方法 设计方法概述冲激响应不变法双线性变换法数字Butterworth滤波器 DF按频率特性 可分为低通 高通 带通 带阻和全通 其特点为 1 频率变量以数字频率表示 2 以数字抽样频率为周期 3 频率特性只限于范围 HP BP BS的设计 需先将其设计转换成低通进行 LP HP BS BP 4 1IIR数字滤波器的设计方法 1 技术指标数字滤波器的传输函数 数字低通滤波器的技术要求 通带截止频率 阻带截止频率 3dB通带截止频率 通带 阻带的容限 允许误差 通带 阻带的容限 通带允许的最大衰减 阻带允许的最小衰减 分