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1、归纳猜想证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳猜想证明”。例1 数列满足。 （1）计算，并由此猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。 分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用求得，在此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的换做，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。 解析：（1）， 由此可猜想。 （2）下面用数学归纳法证明： 当时，左边，右边，猜想成立。假设时
2、猜想成立，即， 那么据已知， ， 由- 可得， ，即当时猜想也成立。 根据可知，猜想对任何都成立。 评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳猜想证明”的基本方法，注重其应用。例2 已知，是否存在的整式，使得等式，对于大于1的一切自然数都成立，并证明你的结论。 分析：假设存在，去探索等于多少。 解析：当时，由，即，解得； 当时，由，即，解得； 当时，由，即=，解得。 由此猜想。 下面用数学归纳法证明：当时，等式成立。 当时，由以上经验可知等式成立。假设当时等式成立，即，则当时，。 当时，等式也成立。 由知，对于大于1的自然数，存在整式，使得等式总成立
3、。 评注：这是一个探索性问题，整式需要用经验归纳法来探求和发现，用观察、归纳、猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明。例3 是否存在常数、使等式对一切正整数成立？证明你的结论。 分析：先取1、2、3，探求、的值，然后用数学归纳法证明对一切的，、所确定的等式成立。 解析：分别用1、2、3代入解方程组 ，解得。 下面用数学归纳法证明： （1）当时，由上式可知等式成立； （2）假设当时等式成立，即 ， 则当时，左端， 当时，等式也成立。 由（1）、（2）得等式对一切都成立。 评注：本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是一种非
4、常重要的思维能力。分析综合 巧结妙解分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。例1 设，若函数与的图像关于轴对称，求证为偶函数。证明1：要证为偶函数，只须证明其对称轴为,即只须证,只须证（*）。由已知，抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，于是得（*）为偶函数。证明2：记F,欲证F为偶函数，只须证 F=F,即只须证（*）由已知，函数与的图象关于轴对称，而函数与的图象也是关于轴对称的， 于是有 （*）为偶函数。评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。例2 设,求证证明：把结论分解为两个部分考察设,则由 可知，数列与都是单调递增数列。再运用综合法，先寻求两个数列的联系 ,把这种联系概括为，从而得到评注：上述思考过程的前半部分运用了分析法，后半部分则运用了综合法。5用心 爱心 专心
