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1、江苏省常州高级中学高二数学直线和平面平行的判定和性质同步辅导教材一、本讲进度第九章 直线、平面、简单几何体 94 直线和平面平行的判定和性质二、主要内容1、 直线和平面垂直的定义，判定及性质；2、 三垂线定理及逆定理。三、学习指导 1、直线和平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊位置关系。其定义为：该直线与平面内任意一条直线都垂直。也就是用线线垂直去定义线面垂直，体现了线线与线面关系的转化思想。若直线l和平面垂直，符号表示为l。图形表示为：其中：l和的交点称为垂足。直线l叫平面的垂线，平面叫直线的垂面。注意概念中的“任意一条”可以用“所有条”代替，但不能用“无数条”代替。直线和平面垂直的判定有两
2、种方法；一是定义，二是判定定理。判定定理是用定义证明的。判定定理的证明充分运用了平面几何的知识，强调了平面几何知识是学好立体几何的基础。在证明过程中，构造了若干平面（等腰三角形）。直线和平面垂直的性质是定义，即：如果l，m，则lm。数学中概念的定义既可以作为判定定理使用，也可以作为性质定理使用。2、两个唯一性的命题。过一点和已知平面垂直的直线只有一条；过一点和已知直线垂直的平面只有一个。借助于反证法很容易得到证明。3、三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要定理之一。其用途是证明线线垂直。运用三垂线定理及逆定理的难点是具体问题中的变式图形。为了解决这个难点，首先要加深对课本上基本图形的认识，其次要
3、找到一个基本平面（即基本图形中的），分清平面内的直线与平面的斜线，再次找平面的垂线，这是很关键的一步。三垂线定理及其逆定理实质上是把从线线垂直到线面垂直再到线线垂直的模式固定下来，其模式为： PA，A为垂足 PO为的斜线，O为斜足 a，aAO aPO课本P.23例4是一个很重要的真命题。与这个命题类似的还有：“若PA与AB、AC所成角相等，则PA在平面上的射影为BAC的平分线。”4、课本P.24例5给出了求直线l外一点P到直线l距离的另一种方法，即利用三垂线定理构造直角三角形。具体步骤为：（1） 作PO，O为垂足（2） 作OHl，H为垂足（3） 连PH，则PHl，PH长度为点P到l的距离。5、
4、 本节主要方法有反证法、构造法、化归的思想等。 四、典型例题 例1、已知MNa，MNb，a、b为异面直线，a，b，求证：MN。分析：只要将a、b平移到内去即可。设MN=0，设a与O确定的平面交于a，则由线面平行的性质定理aa设b与O确定的平面交于b，则bb MNa，aa MNa同理：MNb ab=0，a，b MN例2、（1）P是ABC所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，H是ABC的垂心，求证：PH平面ABC。 （2）P是ABC所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面ABC，H为垂足，求证：H为垂心。分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手 （1） PAPB，PAPC P
5、A平面PBC PABC H为ABC垂心 BCAH PAAH=A BC平面PAH BCPH同理：ABPH ABBC=B PH平面ABC （2）由（1）得：PABC PH平面ABC AH为PA在平面ABC上的射影 BC平面ABC，BCPA BCAH同理：ABCH H为ABC垂心注：本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题。在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与ABC的垂心为同一点。例3、已知a，ab，b，求证：a。分析：设法构造经过直线a的辅助平面，使得与相交，则只要证明a平行于交线即可。 b b垂直于内任一条直线又 ab由此联想到平面几何中的定理“垂直于同
6、一条直线的两条直线平行”，从把a、b转移到同一平面内着手。任取点Aa，过A作bb，设b =B，则b （请同学们思考如何证明）设由a，b确定的平面交于c，则bc ab，bb ba a，b，c均在平面内 ac a例4、正方体ABCDA1B1C1D1中（1） 求证：A1CBD，A1CC1D，A1CB1A；（2） 求证：A1C平面BDC1；（3） 设O是正方形BCC1B1的中心，求证：BC1DO。分析：（1）本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。考虑用三垂线定理及逆定理。在正方体A1B1C1D1ABCD中，由每一个面都是正方形，利用线面垂直的判定定理，易证：AA1、BB1、CC1、D
7、1D都与平面ABCD及平面A1B1C1D1垂直；AB、DC、A1B1、D1C1都与平面BB1C1C、平面AA1D1D垂直；A1D1、AD、B1C1、BC都与平面AA1B1B、平面CC1D1D垂直。这些垂直关系应熟记，可直接作为结论使用。 A1A平面ABCD AC为A1C在平面ABCD上的射影 BDAC，BD平面ABCD BDA1C在这里选取基本平面为ABCD同理，选取平面CC1D1D为基本平面，证A1CC1D选取AA1B1B为基本平面，证A1CB1A （2）由（1），A1CBD，A1CC1D BDC1D=D A1C平面BDC1 （3） DC平面BB1C1C OC为DO在平面BB1C1C上的射影
8、 BC1平面BB1C1C，BC1OC BC1DO注：在垂直关系的证明中，应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想。三垂线定理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法。例5、正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AA1中点，P为正方形A1B1C1D1的中心（1） 求证：MPB1C；（2） 线段A1B1上的点N满足A1N=NB1，求证：MNMC。分析：（1）法一：直接利用三垂线定理，选平面BB1C1C为基本面。找MP在平面BB1C1C上的射影。作MM1A1B1交BB1于点M1作PP1A1B1交B1C1于点P1则MM1平面BB1C1C，PP1平面BB1C1C M1P1为MP在平面BB1C1C上的射影
9、M为AA1中点，P为A1C1中点 M1、P1分别为BB1、B1C1的中点 M1P1BC1又 BC1B1C M1P1B1C由三垂线定理：MPB1C法二：把MP平移，转化利用三垂线定理矩形AA1C1C中，M、P分别为AA1、A1C1的中点 MPAC1由上题知AC1B1C MPB1C （2）选平面AA1B1B为基本面 CB平面AA1B1B BM为CM在平面AA1B1B上的射影下面只要证明BMMN即可 BM与MN在同一平面内 利用勾股定理设正方体棱长为a，则BM2=AB2+AM2=a2+MN2=MA12+A1N2=BN2=BB12+B1N2= BM2+MN2=BN2 BMMN MCMN注：利用勾股定理
10、证明线线垂直，体现了数量关系与位置关系的联系。同步练习（一） 选择题1、 空间四边形ABCFD的四边相等，则它的对角线AC与BD的关系是A、 垂直相交 B、相交但不一定垂直 C、垂直但不相交 D、不垂直不相交2、 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA平面ABCD，PA=1，则P到对角线BD的距离为A、 B、 C、 D、3、 ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是A、 B、 C、 D、 4、P是ABC所在平面外一点，P到ABC三边的距离相等，PO，O为垂足，O在ABC内部，则O是ABC的A、 外心 B、内心 C、垂心 D、重心 5、P是平行四边形AB
11、CD所在平面外一点，若P到ABCD四边距离相等，则ABCD一定是A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、以上都不是6、异面直线在同一平面上的射影不可能是A、两平行直线 B、同一直线 C、两相交直线 D、一点与一直线7从平面外一点P引与相交的直线，使点P与交点的距离等于1，则满足条件 直线条数一定不可能是A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条8、已知PH，H为垂足，HE，EF，HEEF，连PE、PF、HF，则图中直角三角形的个数是A、1个 B、2个 C、3个 D、4个9、已知PE垂直于O所在平面，EF是O的直径，点G为圆周上异于E、F的任一点，则下列结论不正确的是A、FG平面PEG B、PGFG
12、C、EGPF D、PEGF10、如果APB=BPC=CPA=600，PA=a，PA在平面BPC上的射影为PO，则cosAPO等于A、 B、 C、 D、 （二）填空题11、PO平面AOB，AOB=900，AB=a，PAO=PBO=，C是AB中点，则PC=_。12、若ab，a，则b_；若ab，a，则b_。13、空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，若BD=5，AC=4，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，则MNPQ的面积是_。14、ABC中，ACB=900，P是平面ABC外一点，PA=PB=PC，若AC=12，P到平面ABC的距离为8，则P到BC的距离等于_。15、正三角形A
13、BC的边长为a，ADBC，D为垂足，沿AD将ABC折起，使BDC=900，则B到AB的距离为_。 （三）解答题16、四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD，求证：ADBC。17、RtABC中，ACB=900，AC=3，BC=4，PC平面ABC，PC=，求点P到直线AB的距离。18、若直角ABC的一边BC平行于平面，另一边AB与平面斜交，求证：ABC在平面上的射影仍是直角。19、空间四边形PABC中，PA平面ABC，若BAC900，求证：A在平面PBC上的射影A不可能是PBC的垂心。20、A是ABC所在平面外一点，ABD=ACD=900，AB=AC，E是BC中点，求证：（1）ADBC；（2）AED是钝角三角形。参考答案 （一）选择题1、C。 取BD中点M，则BDAM，BDCM，BD平面ACM，BDAC2、B。 作AHBD，H为垂足，连PH，则PHBD，AH=，PH= 3、D。4、B。 O到ABC三边距离相等5、A。 P在平面ABCD上的射影为ABCD内切圆圆心，平行四边形ABCD有内切圆，从而为菱形6、B。7、C
