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1、【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.四点共圆问题的解题策略：利用四点构成的四边形的对角互补；利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一 向量法判定点与圆的位置关系例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为()求椭圆E的方程； ()设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线
2、段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由【解析】解法一：()由已知得解得，所以椭圆E的方程为()设点AB中点为由学科&网所以从而.所以. ,来源:学科网ZXXK故所以，故G在以AB为直径的圆外来源:学科网ZXXK所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外学科&网类型二 四点共圆应用问题例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.类型三 动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为
3、，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究： 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 （法2）由得，动直线与椭圆有且只要一个交点，且=0，学科&网即，化简得 此时=，=，(,),由得(4，).学科&网假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,设(,0)，则=0对满足式的，恒成立.=(,),=(4，)，=0，整理得， ，解得=1，存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.=(1,),=(3，)，=0，学科&网恒有， 存在定点(1,0)
4、，使得以为直径的圆恒过点.类型四 证明四点共圆例4. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【扩展链接】1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半
5、焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：3.设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则. . .；.；.；【同步训练】1已知椭圆的离心率，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；来源:学。科。网Z。X。X。K（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由【思路点拨】（1）直线AB方程为bxayab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程（2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解（2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx
6、+9=0，=（12k）236（1+3k2）0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（1，0），当且仅当CEDE时，学科&网则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0将代入整理得k=，学科&网经验证k=使得成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E2.已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数
7、据计算可得，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.因为，所以，.所以，即.学科&网3.已知椭圆： 过点，且离心率（）求椭圆的方程；（）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证 4.已知椭圆： 的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的
8、直线与交于点，与抛物线： 交于、两点，当直线过时的周长为（）求的值和的方程；（）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。【思路点拨】（1）由的周长为求得a,再根据椭圆经过求得m.（2）设直线方程 ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标 5.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角
9、的等腰直角三角形，求面积的最小值.【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得ABD面积的最小值（3）如图所示，设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，学科&网又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，即，将代入得： 6.已知椭圆： （）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程
10、；（2）动直线： （， ）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）由题设知a= ，所以 ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程.（2）首先求出动直线过（0，）点当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1由由此入手可求出点T的坐标（2）首先求出动直线过点.当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 由解得学科&网即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，
11、点就是所求的点.证明如下：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点当直线不垂直于轴，可设直线： 由消去得： 7.如图，曲线由上半椭圆： （， ）和部分抛物线： （）连接而成， 与的公共点为， ，其中的离心率为来源:学.科.网Z.X.X.K（1）求， 的值；（2）过点的直线与， 分别交于点， （均异于点， ），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半椭圆的左、右顶点，设半焦距为，由及，联立解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），代入的方程，整理得： ，
12、设点的坐标为，由根公式，得点的坐标为，同理，得点的坐标为由 ，即可得出的值，从而求得直线方程. 8.已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【思路点拨】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角， ，由此列出不等式求出的取值范围.（2）设， ，联立方程，消去得：；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点， ，由方程的根与系数关系可
13、得， ；可得 ；由，解得， ；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由， ，；即，整理得， ，解得： 或.实数的取值范围是或.9.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=1的距离相等（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）已知不与l垂直的直线l与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论【思路点拨】（1）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；（2）由题意可设直线l：x=my+n，由可得y24my4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论所以NANP，所以点N在以PA为直径的圆C上10.已知抛物线C1：y2=2px（p
14、0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上（）求抛物线C1的方程；（）已知椭圆C2：=1（mn0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为直线l：y=kx4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围【思路点拨】（1）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程（2）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出0，然后求解k的范围即可由0，即（32k）2416（4k2+3）0，k或k（10分）原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则0，=x1x2+y1y2=x1x2+（kx14）（kx24）=（k2+1）x1x24k（x1+x2）+16=（k2+1）4k+16=0，解得：k由、得实数k的范围是k或k，k的取值范围（，）（，）（12分）来源:Zxxk.Com
