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1、2016年上海市高三二模数学填选难题解析2016-5-51. 虹口13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖；现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为 【解析】数学期望，只要抽中一等奖或二等奖，总价值就会大于数学期望，其反面情况是没有抽中任何奖品，；13.（文）设函数（其中，），若不等式的解集为，则实数的取值范围为 【解析】若，结合图像可知，解集不可能出现，此时递增，即取值范围为；14.（理）对任意和，恒成立，则实数的取值范围为 【解析】根据题意，即恒成立，即求不等式右边的最小值，右边，而即点到
2、点的距离的平方，结合图像可知，距离最小值，；14.（文）在直角坐标平面，定点、和动点满足，则点构成的区域面积为 【解析】据题意，且，设点，即，点构成的区域如图所示，面积为；18.（理）已知点列均在函数上，点列满足，若中任意连续三项能构成三角形三边，则的范围为（ ）A. B. C. D. 【解析】，点在线段的中垂线上，、，中任意连续三项能构成三角形的三边，若，即，解得；若，即满足，解得，综上，选B；18.（文）已知上存在关于直线对称的两点、，则等于（ ）A. B. C. D. 【解析】可知直线斜率为1，点差得，中点坐标，直线方程为，联立抛物线可解得，选B；2. 黄浦13.（文）有红、黄、蓝三种颜
3、色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 【解析】取出的红、黄、蓝三球，若分别给它们编号1、2、3，共有种情况，；13.（理）正整数、满足，若关于、方程组有且只有一组解，则的最大值为 【解析】如图所示，共有4段，斜率依次为、，直线斜率为，结合图像可知，在处，两图像有唯一交点，即，最大值为；14.（理）已知数列中，若，则满足的的最小值为 【解析】根据题意，数列为，易知若，则，即；18.（文）全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中元素个数至少有（ ）A. 4个 B. 6个 C
4、. 8个 D. 10个【解析】如图所示，元素个数至少8个；18.（理）若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】根据题意，要满足，在上分别画出、和的图像，结合图像可知，当时，满足真数大于零，即有个开区间，；【附】在上的图像，已按适当比例伸展；3. 杨浦13.（文）若关于的方程在内恰有四个相异实根，则实数的取值范围为 【解析】设，分区间讨论，当，当，画出函数图像如图所示，当或，函数有最小值，当，结合图像可知，要有四个交点，；13.（理）若关于的方程在内恰有三个相异实根，则实数的取值范围为 【解析】本题和上题类似，分区间讨论，当，当，画
5、出函数图象如图所示，当，当，要有三个交点，；14. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 【解析】构造模型如图，设，则，据祖暅原理；18.（理）已知命题：“若、为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与
6、平面的距离等于异面直线、的距离”为真命题；根据上述命题，若、为异面直线，且它们之间距离为，则空间中与、均异面且距离也均为的直线有（ ）A. 0条 B. 1条 C. 多于1条，但为有限条 D. 无数条【解析】构造边长为的正方体，如图所示，满足、为异面直线且它们之间距离为，以的上端点为圆心，为半径，在上底面所在平面画圆，可知该圆的切线除平行情况外，均满足与、均异面且距离均为，所以有无数条，选D；4. 奉贤13.（理）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数 【解析】假设在上，易得，即，必然存在一点，使得；当然，如果愿意，也可以算出点位置，设，那么，即，解得，即为中点，同理，、的中点也
7、满足，共有6个；14.（理）若数列前项和满足（，），且满足，单调递增，则的取值范围是 【解析】，作差得，再作差得，即奇数项（除外）是递增的等差数列，偶数项也是递增的等差数列，要满足全数列递增，只需，代入可得，可解得；本题需注意的是等式右边有非零常数项，是不满足数列一般规律的；14.（文）若数列满足（，），单调递增，则的取值范围是 【解析】同上题，且无需考虑是否特殊，同样要满足，代入可得，可解得；17.（理）设，则以为直径的圆面积为（ ）A. B. C. D. 【解析】，圆面积为，选B；18.（理）方程（）有两个负实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 前三个都不正确【解析】设，在有
8、两个不同解，作出图像如图，左图需满足经过点，解得，右图需满足与相切，即，解得，选B； 18.（文）方程（）有一个正实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 前三个都不正确【解析】同上题，设，在有一个解，作出图像如图，左图需满足经过点，解得，右图需满足经过点，解得，选A； 5. 长宁嘉定宝山青浦13.（理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 【解析】列举即可，假设答案均为A，甲选18A2B，得54分；
9、若乙选20A，得60分； 若乙选19A1C，得57分； 若乙选18A2C，得54分； 若乙选17A1B2C，得51分； 若乙选16A2B2C，得48分；集合为；14.（文）对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为 【解析】如图，若，定义域，值域，明显不同，此时定义域，值域，；14.（理）已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是 【解析】由已知可得，直线，设，则，即，解得，即最大值为；18.（理）已知函数，若存在实数、满足，其中，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】作出函数图像，由图可
10、知，可设，选B；此类型题在往年模考题中出现较多，要注意总结方法；6. 浦东13.（理）任意实数、，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则 【解析】根据定义，设公比为，则，同理，以此类推，若，不符，解得；13.（文）已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且满足，则 【解析】，设公比为，则，可得，类推可得，即，解得；14.（理）关于的方程在上解的个数是 【解析】分区间讨论画出函数图像如图所示，由图可知，在上共有个周期，除了这个周期只有1个交点，其他每个周期内都有2个交点，个数为4031；14.（文）关于的方程在上解的个数是 【解析】同上图，在上共有6个周期，共有个交点，个数为11个；18
11、. 已知平面直角坐标系中有两个定点、，如果对于常数，在已知函数（）的图像上有且只有6个不同的点，使得等式成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】分区间讨论函数，当，设，；当，设，；当，设，；作出该三段函数如右图所示，由图可知，当时，直线与函数有6个交点，故选C；7. 闵行13.（理）设数列的前项和为，则使得恒成立的的最大值为 【解析】作差可得，当，当，当，恒成立，只要满足即可，解得，即最大值为；13.（文）设数列的前项和为，数列为递增数列，则实数的取值范围 【解析】作差得，当，为递增数列，只需满足，即，解得；14.（理）若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，是锐角三角
12、形，则实数的取值范围是 【解析】分析函数可知，当逐渐变大，的变化趋势：钝角直角锐角直角钝角，只需确定为直角三角形时，的两个临界值； 如左图所示，为直角，联立两个函数得，解得； 如右图所示，为直角，则直线，联立得，代入，解得；综上所述，为锐角三角形时，；14.（文）若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，当是直角三角形时，则满足条件的所有实数的值的乘积为 【解析】同上题，或，乘积为；18.（理）若函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的、，有的最小值为，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【解析】，或，不妨设（设其实也是一样的），且设，则，根据题意，或，可解得或，选C，结合下图分析更直观； 18.（文）若函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的、，的最小值为，则（ ）A. B. C. D. 【解析】同上题，选C；8. 普陀12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点、，记（，），则 【解析】考查向量积几何意义，如右图，；13. 设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是
