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1、清华附中高三数学理科第一次月考试卷一、选择题(每小题5分，共40分)：1如果集合P = x | | x | 2，集合T = x | 3x 1，那么，集合PT等于 ( B )Ax | x 0 Bx | x 2Cx | x 0 Dx | x 22已知函数 ( A )A- 1B5C- 8D33映射f：AB，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为( C )A24 B6 C 36 D72 4命题p：若的充分而不必要条件命题q：函数的定义域是则( D )A“p或q”为假B“p且q”为真Cp真q假Dp假q真5已知
2、R为实数集，Q为有理数集.设函数，则 ( D )A函数的图象是两条平行直线 BC函数恒等于0D函数的导函数恒等于06设函数给出下列四个命题：时，是奇函数时，方程 只有一个实根的图象关于对称方程至多两个实根其中正确的命题是 ( C )A、 B、 C、 D、7将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(- 2，4)重合，若点(7，3)与点(m ,n)重合，则m+n的值为 ( C )A4B- 4C10D- 108设、，集合，若为单元素集，则值的个数是 ( D ) A B C D二、填空题(每小题5分，共30分)：9“”是“且”的 必要非充分 条件10设函数,若，的反函数
3、，则的值为 4 11已知函数连续，则a的值为 3 12如果曲线与直线y = x相切于点P，则点P的坐标是(e，e)，a = 13如果函数f(x)的定义域为R，对于m，n R，恒有f(m + n) = f(m) + f(n) - 6，且f(- 1)是不大于5的正整数，当x - 1时，f(x) 0那么具有这种性质的函数f(x) = x + 6 (注：填上你认为正确的一个函数即可，不必考虑所有可能的情形)答案说明：f(x) = ax + 6 (a = 1，2，3，4，5)均满足条件14已知，抛物线与x轴有两个不同交点，且两交点到原点的距离均小于1，则的最小值为 10 三、解答题(共80分)：15(1
4、2分)已知函数若函数的定义域和值域都是1，a(a1)，求a的值答案：16(13分) 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻解：(1)当6t9时.17(13分) 已知命题p：方程a2x2 + ax - 2 = 0在- 1，1上有解；命题q：有且只有一个实数x满足不等式x2 + 2ax + 2a 0若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围18(14分) 设P(x + a，y1)，Q(x，y2)，R(2
5、 + a，y3)是函数f(x) = 2x + a 的函数图象上三个不同的点，且满足y1 + y3 = 2y2的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围答案：19(14分) 已知函数(1) 若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；(2) 若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an 2n + 2；(3) 在(2)的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由解：(1)，要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当要使恒成立，则，解得，所以的取值范围为或或根据题意得：，于是，用数学归纳法证明
6、如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，所以当，不等式也成立，综上得对所有时5，都有(3) 由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以20(14分) 已知函数f(x)的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f(x - y) = 成立，且f(a) = 1(a为正常数)，当0 x 0(1) 判断f(x)奇偶性；(2) 证明f(x)为周期函数；(3) 求f (x)在2a，3a 上的最小值和最大值证明：(1) 定义域x| x k，kZ 关于原点对称，又f(- x) = f (a - x) - a= = = = = = - f (x)，对于定义域内的每个x值都成立
7、f (x)为奇函数 (4分)(2) 易证：f(x + 4a) = f(x)，周期为4a (8分)(3) f (2a) = f (a + a) = f a - (- a)= = = 0，f (3a) = f (2a + a) = f 2a - (- a)= = = - 1先证明f (x)在2a，3a上单调递减为此，必须证明x(2a，3a) 时，f (x) 0， 设2a x 3a，则0 x - 2a 0， f (x) 0 (10分)设2a x1 x2 3a，则0 x2 - x1 a， f (x1) 0 f (x2) 0， f (x1) - f (x2)= 0， f (x1) f (x2)， f (x)在2a，3a上单调递减 (12分) f (x)在2a，3a上的最大值为f (2a) = 0，最小值为f (3a) = - 1 (14分)
