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1、海南省2006年高中新课程选修2-2教学指导http:/www.DearEDU.com导数及其应用（约24课时）一、知识要求与变化1、整体定位标准中对导数及其应用的整体定位如下：“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的
2、思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。”为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。对于定积分，也是通过实例（如求曲边梯形的面积、变力
3、做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（2）导数的运算不宜要求过高由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景
4、和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。能初步利用定积分计算几何中曲边形的面积以及物理中变速直线运动的位移和变力做功等基本问题。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。（4）关注数学文化重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流
5、；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。2、课程标准的要求（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数。 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数
6、研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例。 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关
7、系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。标准对“学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念。”的要求是阶段性要求，“体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。”的要求是终结性要求。3、课程标准的要求的具体化和深广度分析（1）如何理解“导数的概念及定积分的概念”由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数和定积分又作为一种特殊的极限，如何处理
8、这部分内容呢？标准要求“通过实际的背景和具体应用事例膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。”例如：人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度H(单位：s)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：H(t)=-4.9t+6.5t+10。运动员从高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为H，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？分析：该运动员在2秒
9、内到21秒（记为2，21）平均速度为同样，可以计算出2，212，2001，的平均速度，也可以计算出199，2，1999，2的平均速度。列表如下：由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数-13.1就可作为该运动员在2秒时的速度。（2）如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义”和“借助几何直观体会定积分的基本思想”即要求理解数函数f(x)在x=x的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何意义以及定积分可以用来求曲边形的面积和直线运动物体的位移，不要求利用极限去计算导数和通过“分割、近似代替、求和、取极限”的过程求定积分。并且提高了对导数几何意义认识以及利用导数去
10、解决问题的要求。 例如： 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示。试问哪个企业治污效果好（其中W表示治污量）。图2-2-1 在t处，虽然，然而，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹。 (3) 如何认识 “导数的运算”由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。在处理导数的计算时，首先是对于几个常见的函数“y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=”，用导数定义求导，然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则，要求“利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来
11、计算导数”，特别指出“要避免过量的形式化运算练习”，当然，与选修11比较，这里要求略有提高，增加了求复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。我们以下列三个例子作说明。例如：求函数y=f(x)=x的导数解：因为 = =2x+x所以 例如：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x-2x+3的导数解：因为 =3x-2所以函数y=x-2x+3的导数是3x-2例如：求函数y=的导数解：函数y=可以看作函数y=和u=-0.05x+1的复合函数。根据复合函数的求导法则有： = =-0.05e =-0.05（4）如何认识“导数在研究函数中的应用”首先要注意导数作为一种通法的意义和作用，与初等方
12、法相比较，导数能处理一般函数极值问题。但在中学阶段，这种要求不宜过高，标准中要求“借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。导数求不超过三次的多项式函数的，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值”。其次导数是解决生活中优化问题的有力工具，应体会导数的应用价值：例如：有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（）r为多少时，磁盘具有最大存储量？（最外面的磁道不存储任何信息）分析：存储量=磁道数每磁道的比特数 由于磁道之间的宽度必须大于m，而且最外面的磁道不存储任
13、何信息，所以磁道数最多可达，每条磁道上的比特数可达，所以，磁盘总存储量f(r)= =（）f(r)是关于r的一元二次函数，所以，并非r越小，磁盘的存储量越大。（）f(r)=,令f(r)=0，得r=。 因此，当r0; 当r时，f(r)0.所以，当r=时，磁盘具有最大存储量，最大存储量为（5）如何认识“直观了解定积分与微积分基本定理”这里，一个突出的问题也是：没有学习极限，如何推导微积分基本定理？课标中是通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。例如：一个物体依照ss（t）规律在直线上运动，我们已经知道，其在某一时刻的t0运动速度v（t0）（即瞬时速度或
14、瞬时变化率）为ss（t）在t0时刻的导数，即。你能分别用s（t）和v（t）表示物体在ta到tb之间位置总变化吗？我们把区间atb分割成个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为t。对每一个小区间，我们假设s（t）的变化率近似为某一常量，于是我们可以说ss(t)的变化率时间在第一个小区间内，即从t0到t1，假设s（t）的变化率近似地为s（t0），于是有同样，在第二个小区间，即从t1到t2，假设s（t）的变化率近似地为s（t1），因此有等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到我们可以把s（t）在t0a到tnb之间位置的总变化写成s（b）s（a）。另一方面，当分割无限加细，n趋于
15、无限时，和式的极限就是定积分或，也就是s（t）在ta到tb之间位置的总变化。于是，我们可得到以下结论：也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。特别地，当物体作匀速运动时，即v（t）v时，当物体作匀加速运动时，即v（t）at（其中a是常数）时，一般地，如果f（t）是连续函数，并且f（t）F（t），那么这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是，它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分（导数）与积分的联系。（6）如何认识“数学文化”标准设置了“数学探究”“数学建模”和“数学文化”等新的学习活动。在教学中，我们把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课题作业或专题总结报告。例如：在导数及其应用中，可以准备图形技术及其应用和曲边梯形的面积等两次信息技术应用，让学生结合所学习的知识，利用计数器
