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1、浅谈高考中的数学建模问题 石光华侨联合中学数学组 林丽浣函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在
2、于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。1、 优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决 例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）分析：人口是以年增长率计算，土地是
3、以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为p(1+001)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt吨公顷，10年后单产为M(1+22)t公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。解：依题意得不等式 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和
4、不等式模型来解决问题。2、最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值分析：总利润=每一件的利润销售量=（每一件的售价-成本-管理费）销售量解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当
5、即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）本题利用导数来求三次函数的最值。3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则，对于，有所以当，即时。当，
6、即时数列逐项增加，可以任意靠近因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即（）则，即万辆综上，每年新增汽车不应超过万辆。4、 等量关系问题 建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元kg，政府补贴为t元kg，根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供应量Pkg与市场日需求量Qkg近似地满足关系P=1000(x+t-8)，(x8，t0) 当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。(1)将市场平衡价格表示为政府
7、补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?分析：从数学的角度理解政府补贴t的含义，可与税收联系起来，当t0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t0时，则是课税，为政府积累资金。解：(1)依题设，有解得t1或t-5，由于t0,知t1，从而政府补贴至少为每千克1元。5、测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决。建立坐标，将问题转化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是， 其中t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即， 解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。用心 爱心 专心
