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1、浅议如何建立实际问题的函数模型函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型，在刻画现实问题中具有广泛的应用。小到一个人的成长过程，大到一个国家人口的增长；小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运行轨迹；小到冰块的溶化过程，大到全球气候的变暖等等，都可以利用函数模型进行刻画和研究。利用函数模型反映实际问题，具有重要的作用，它不仅可以揭示实际问题的本质，而且可以对将要发生的变化进行预测。例如伽里略建立的自由落体运动的函数模型h(t)= gt2,这一数学模型不仅反映了自由落体运动的本质规律，而且获得解决这一问题方法。要建立实际问题的数学模型，一般有以下几个步骤：1 阅读理解，认真审题.读懂文字叙述，理解实际背
2、景，领悟背景中反映的实质，把握新信息，勇于探索，善于联想、化归，实现实际问题数学化.2 引进数学符号，建立数学模型。下面，我就如何建立实际问题的函数模型举几个例子.一、 函数模型为一次函数.例1：某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30)天里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大? 分析:此问题是关于利润(y)和份数(x)的关系,根据经验我们知道:每月所赚得的钱=卖报收入的总价付给报
3、社的总价,x的取值范围是250x400. 由题可知,收入的总数分为三部分:在可卖出400份的20天里,收入为0.5x20;在可卖出250份的10天里,在x份报纸中有250份报纸可卖出,收入为0.525010;没有卖出的(x250)份报纸可退回报社,报社付出(x250)0.0810的钱. 建立函数模型:y=0.5x20+0.525010+(x250)0.08100.35x30,即y=0.3x+1050,x250,400.二、函数模型为二次函数。 例2：某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的年需求量为500
4、台,销售收入函数为R(x)=5xx2(万元).(0x5),其中x是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润L(x)表示为年产量x的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得的利润最大? 分析:销售利润L(x)=销售收入R(x)成本C(x),其中成本C(x)= (固定成本+可变成本). .销售收入R(x)= 5xx2(0x5),固定成本为0.5万元,可变成本0.25 x.当年产量x5时,产品能全部售出,其利润为L(x)=( 5xx2)(0.5+0.25x);当x5时,只能售出5百台时,此时利润为L(x)=(5552)(0.5+0.25x).建立函数模型.在此问题中,我们往往容易忽视年产量x可以不超
5、过年需求量,也可以超过年需求量,因此本题的函数模型有两个:( 5xx2)(0.5+0.25x)(5552)(0.5+0.25x)L(x)= R(x)C(x)= 三、函数模型为其它函数问题。ADDC例3.如图，河流航线AC长40，工厂B位于码头C正北30处，原来工厂B所需原料需由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B，由于水运太长，运费颇高，工厂B与航运局协商在AC段上建一码头D，并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输，设|AD|=x（0x40），每10吨的货物总运费为y元，已知每10吨货物每千米运费水路为1元，陆路为2元.（2） 试写出y元关于x的函数关系式；
6、（3） 要使运费最省，码头D应建在何处？分析：.总运费y元=水路运费+陆路运费 .水路运费=1x元,陆路长度|DB|可以勾股定理求得:陆路运费=2(元).建立此问题的函数模型: y=x+2(0x40).对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时,D点的位置.以上建立实际问题的函数模型均是在弄清题意的基础上,根据几何、物理等相关的知识建立的函数模型,但在实际问题中,有些不能直接建立函数模型,只有通过观察、实验,从中找出规律,利用函数拟合法确定函数模型. 例4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3 万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为
7、依据,用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或y=abx+c、y=alnx+b (其中a、b、c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由. 分析: .可先根据题目中的数据画出散点图，再根据散点图的形状判断应选择哪种函数模型. .根据已知数据求出所选式子的待定常数 .将已知数据代入所得的解析式或作出所得函数的图象,检验是否已知数据基本吻合.总之,建立实际问题的函数模型的方法是多种多样的,不同的问题有不同的分析方法,同一问题也可以有多种不同的建立方法,法无定法,这只有靠我们在实践中不断的提高分析问题和解决问题的能力,才能熟练的利用数学模型解决实际问题. 用心 爱心 专心 118号编辑 - 2 -
