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1、浙江省苍南县“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项:1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)1设常数,集合,若,则的取值范围为( )A B C D2已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是( )A相交B相切 C相离 D与的取值有关3已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是( ) A. 若,则 B. 若
2、,则 C. 若,则 D. 若.则4函数在上为单调递减函数,则实数的取值范围是( )AB CD5在棱长为1的正四面体中,记,则不同取值的个数为( )A6 B5 C3 D26在中,分别为的重心和外心,且,则的形状是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 7设,,关于的不等式和无公共解,则最大值是( )A3 B5 C 7 D 98如图,某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道,某公园位于商业中心北偏东角,且与商业中心的距离为公里处,现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为( )A7公里 B8公里 C9公里 D10公里
3、2、 填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)9若,则_10已知等比数列中,,则= .11若正数满足,则的值为_12求“方程的解”有如下解题思路:设,则在R上单调递减,且,所以原方程有唯一解类比上述解题思路,方程的解集为13已知的三边长为满足,则的取值范围是 14对于实数,表示不超过的最大整数。对于某个正整数,若恰好存在1000个正整数同时满足下列两个条件:(1),(2)均能被整除,则=_.2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷 座位号一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)题号12345678答案二、填空题(本大题共6个小题,每
4、小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)9._ 10._11._ 12._13._ 14._三、解答题(本大题共3小题,第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程)15已知圆C与直线x+y=1+ 及x轴分别相切,且圆心在y轴的正半轴上(1)求圆C的方程;(2)设动直线l:yxt与圆C相交于不同的两点A,B,若点P(0,-1),求|PA|PB|的最小值16已知(1)若求证:在上至少存在一个,使(2)已知函数的两个零点为,若求证:且 .17已知数列中,的前项和为,且满足()(1)试求数列的通项公式;(2)令,是数列的前项和,证明:;2015年苍南县“姜立夫
5、杯”数学竞赛 高二试题参考答案 一、 选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)题号12345678答案BDCCCBBC二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)9. 10. 11.12 12.,213. 14.332三、解答题(本大题共3小题,第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程)15解:(1)设圆C的方程为x2(ym)2m2,m0由条件得,m,解得:m1.所以,圆C的方程是x2(y1)21(2)设A(x1,y1),B(x1,y1).由,消去x,并整理得:2y22(t1)yt20,由0,得1t1,而|PA|PB|.当且仅当t时,取到等号.所以,|PA|PB|的最小值是16解:(1)法一: 故与中至少有一个符合 法二:假设,都有,即恒成立 的对称轴,故在上单调递减 即 即 两式相加得,这与条件矛盾,假设错误结论成立 (2)法一:由韦达定理 又由得 即 ,同理 法二:的对称轴 又 故的两个零点均在内,即且 故与中至少有一个符合17解:(1)由(),得(),所以(), 即()又,所以(2),所以, 所以, - 7 -