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1、浙江省苍南县“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）A B C D2已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）A相交B相切 C相离 D与的取值有关3已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是（ ） A. 若,则 B. 若
2、,则 C. 若,则 D. 若.则4函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）AB CD5在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（ ）A6 B5 C3 D26在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 7设,，关于的不等式和无公共解，则最大值是（ ）A3 B5 C 7 D 98如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为（ ）A7公里 B8公里 C9公里 D10公里
3、2、 填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9若，则_10已知等比数列中，,则= .11若正数满足，则的值为_12求“方程的解”有如下解题思路：设，则在R上单调递减，且，所以原方程有唯一解类比上述解题思路，方程的解集为13已知的三边长为满足，则的取值范围是 14对于实数，表示不超过的最大整数。对于某个正整数，若恰好存在1000个正整数同时满足下列两个条件：（1），（2）均能被整除，则=_.2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷 座位号一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345678答案二、填空题（本大题共6个小题，每
4、小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9._ 10._11._ 12._13._ 14._三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15已知圆C与直线x+y=1+ 及x轴分别相切，且圆心在y轴的正半轴上（1）求圆C的方程；（2）设动直线l：yxt与圆C相交于不同的两点A，B，若点P(0，-1)，求|PA|PB|的最小值16已知(1)若求证：在上至少存在一个，使(2)已知函数的两个零点为，若求证：且 .17已知数列中，的前项和为，且满足（）（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：；2015年苍南县“姜立夫
5、杯”数学竞赛 高二试题参考答案 一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345678答案BDCCCBBC二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9. 10. 11.12 12.，213. 14.332三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15解：（1）设圆C的方程为x2(ym)2m2，m0由条件得，m，解得：m1.所以，圆C的方程是x2(y1)21（2）设A(x1，y1)，B(x1，y1).由，消去x，并整理得：2y22(t1)yt20，由0，得1t1，而|PA|PB|.当且仅当t时，取到等号.所以，|PA|PB|的最小值是16解：（1）法一： 故与中至少有一个符合 法二：假设，都有，即恒成立 的对称轴，故在上单调递减 即 即 两式相加得，这与条件矛盾，假设错误结论成立 （2）法一：由韦达定理 又由得 即 ，同理 法二：的对称轴 又 故的两个零点均在内，即且 故与中至少有一个符合17解：（1）由（），得（），所以（）， 即（）又，所以（2），所以， 所以， - 7 -
