2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1同步练习:第3章空间向量与立体几何单元检测A卷.doc

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1、第三章空间向量与立体几何(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1以下命题中,不正确的个数为()|a|b|ab|是a,b共线的充要条件;若ab,则存在唯一的实数,使ab;若ab0,bc0,则ac;若a,b,c为空间的一个基底,则ab,bc,ca构成空间的另一个基底; |(ab)c|a|b|c|.A2B3C4D52直三棱柱ABCA1B1C1中,若a,b,c,则等于()Aabc BabcCabc Dabc3已知a(2,4,5),b(3,x,y),若ab,则()Ax6,y15 Bx3,yCx3,y15 Dx6,y4已知空间三点A(0,2,3),B(

2、2,1,6),C(1,1,5)若|a|,且a分别与,垂直,则向量a为()A(1,1,1)B(1,1,1)C(1,1,1)或(1,1,1)D(1,1,1)或(1,1,1)5已知A(1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin,等于()A B. C. D6在正三棱柱ABCA1B1C1中,若ABBB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90 C105 D757若平面的法向量为n,直线l的方向向量为a,直线l与平面的夹角为,则下列关系式成立的是()Acos Bcos Csin Dsin 8若三点A(1,2,1),B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC的形

3、状是()A不等边的锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形9若两个不同平面,的法向量分别为u(1,2,1),v(3,6,3),则()A BC,相交但不垂直 D以上均不正确10若两点A(x,5x,2x1),B(1,x2,2x),当|取最小值时,x的值等于()A19 B C. D.11.如图所示,在四面体PABC中,PC平面ABC,ABBCCAPC,那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C. D.12.如图所示,在直二面角DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AEB是等腰直角三角形,其中AEB90,则点D到平面ACE的距离为()A. B.C. D2题号123456789101

4、112答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13若a(2,3,5),b(3,1,4),则|a2b|_.14如图所示,已知正四面体ABCD中,AEAB,CFCD,则直线DE和BF所成角的余弦值为_15平面的法向量为(1,0,1),平面的法向量为(0,1,1),则平面与平面所成二面角的大小为_16.如图所示,已知二面角l的平面角为 ,ABBC,BCCD,AB在平面内,BC在l上,CD在平面内,若ABBCCD1,则AD的长为_三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1BC1,CA1BC1.求证:AB1CA1.18(12分)已知四边形AB

5、CD的顶点分别是A(3,1,2),B(1,2,1),C(1,1,3),D(3,5,3)求证:四边形ABCD是一个梯形19.(12分)如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M、N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线?20(12分)如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CBC1CDBCD.求证:C1CBD.21.(12分)如图,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求OA与BC所成角的余弦值22(12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CFAB2CE,A

6、BADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;(2)证明AF平面A1ED;(3)求二面角A1EDF的正弦值第三章空间向量与立体几何(A)1C只有命题正确2.D如图,bac.3Dab,存在实数,使,.4C设a(x,y,z),(2,1,3),(1,3,2),又|a|,a,a,或a(1,1,1)或a(1,1,1)5C(1,0,0),(2,2,1),cos,sin,.6B建立如图所示的空间直角坐标系,设BB11,则A(0,0,1),B1,C1(0,0),B.,10,即AB1与C1B所成角的大小为90.7D若直线与平面所成的角为,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为,则90或90,

7、cos ,sin |cos |.8A(3,4,2),(5,1,3),(2,3,1),0,得A为锐角;0,得C为锐角;0,得B为锐角,所以ABC是锐角三角形且|,|,|.9Av3u,vu.故.10C(1x,2x3,3x3),则|.故当x时,|取最小值11C如图所示,作BDAP于D,作CEAP于E,设AB1,则易得CE,EP,PAPB,可以求得BD,ED.,2222222.,cos,即二面角BAPC的余弦值为.12B建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),E(1,0,0),D(0,1,2),C(0,1,2)(0,0,2),(1,1,0),(0,2,2),设平面ACE的法向量n(x,y,z

8、),则即令y1,n(1,1,1)故点D到平面ACE的距离d.13.解析a2b(8,5,13),|a2b|.14.解析因四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为BCD的垂心,所以有BCDA,ABCD.设正四面体的棱长为4,则()()0041cos 12014cos 1204,BFDE,所以异面直线DE与BF的夹角的余弦值为:cos .15.或解析设n1(1,0,1),n2(0,1,1),则cosn1,n2,n1,n2.因平面与平面所成的角与n1,n2相等或互补,所以与所成的角为或.16.解析因为,所以22222221112cos()32cos .所以|,即AD的长为.17证明以A为

9、原点,AC为x轴,AA1为z轴建立空间直角坐标系设B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d),则B1(a,b,d),C1(c,0,d),(a,b,d),(ca,b,d),(c,0,d),由已知caa2b2d20,c(ca)d20,可得c2a2b2.再由两点间距离公式可得:|AB1|2a2b2d2,|CA1|2c2d2a2b2d2,AB1CA1.18证明因为(1,2,1)(3,1,2)(2,3,3),(3,5,3)(1,1,3)(4,6,6),因为,所以和共线,即ABCD.又因为(3,5,3)(3,1,2)(0,4,1),(1,1,3)(1,2,1)(2,1,2),因为,所以与不平行

10、,所以四边形ABCD为梯形19解M、N分别是AC、BF的中点,四边形ABCD、ABEF都是平行四边形,.又,22()2.,即与共线20证明设a,b,c,依题意,|a|b|,又设,中两两所成夹角为,于是ab,c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0,所以C1CBD.21解因为,所以|cos,|cos,84cos 13586cos 1201624.所以cos,.即OA与BC所成角的余弦值为.22(1)解如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点设AB1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E.易得,(0,2,4),于是cos,.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明易知(1,2,1),于是0,0.因此,AFEA1,AFED.又EA1EDE,所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x,y,z),则即不妨令x1,可得u(1,2,1),由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量,于是cosu,

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