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1、高考数学专题讲座 第一讲 函数的性质及应用一、考纲要求1理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法2会根据图象探讨函数的性质,利用性质灵活解题3函数的单调性常用来判断、证明、比较大小、解不等式,求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性、周期性联系在一起，解决较复杂的问题二、基础过关1.函数的值域是( C )A B， C， D. ，2已知则的图象是 （A )x A B C D3设函数若0，且恒成立，则实数的取值范围是（ C ）A B C D 4已知函数满足：对任意实数，当时，总有，那么实数的取值范围是（ D ）A（0，3） B（1，3） C（0，2）
2、D（1，2）5如果函数满足：对于任意的实数都有，且则-6已知函数，则的值等于.三、典型例题例1 已知函数的图象与函数的图象关于点A(0,1)对称（1）求的解析式；（2）若,且在区间(0,2)上为减函数,求实数的取值范围解:(1) 设的图象上任一点坐标为(),点()关于点A(0,1)对称点()在的图象上. 即 故 (2) 在(0,2)上递减, 在(0,2)上, 解之得 故 的取值范围是例2 设函数定义在上,对于任意实数总有，且当时，（1）证明：，且时，；（2）证明：函数在R上单调递减；（3）设，R，若，确定的取值范围证(1) 令 ,则 对于任意实数恒成立. 设x0,由fx+(-x)=f(x)f(
3、-x)=1 得 f(x)= 当x0,0f(x)1时, x0,于是f(x)=1.证(2) 设x0 f(x)=f(x-x)+x=f(x-x)f(x) x-x0 0f(x-x)1 f(x-x)f(x)f(x) 故 函数在R上是减函数.解(3) f(x)f(y)=f(x+y)1, f(ax-y+2)=1=f(0) x+y1, ax-y+2=0 故 AB=，则圆心（0，0）到直线ax-y+2=0的距离d=1解之得 .例3 设和是定义在上的两个函数，是R上任意两个不等的实数（1）设|恒成立且是奇函数，判断函数的奇偶性，并加以证明（2）设恒成立，且是以为周期的周期函数，求证：也是周期函数（3）设|恒成立,且
4、是上的增函数，能否确定在R上也是增函数？并说明理由.证(1) 令x=-x,x=x f(x)为奇函数f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=0由已知|f(x)+f(x)|g(x)+g(x)|,得|g(x)+g(x)|=|g(-x)+g(x)|0 即g(-x)=-g(x)所以 g(x)为奇函数(2)令x=x+T,x=x (T0)f(x)为周期函数且T为一个周期则f(x)-f(x)=f(x+T)-f(x)=f(x)-f(x)=0|g(x)-g(x)|=|g(x+T)-g(x)|0 即 g(x+T)=g(x)所以g(x)也是周期 为T的周期函数.(3)能确定h(x)=f(x)+g(x)在R上是增函数
5、.证明如下:设xx,f(x)在R上是增函数 f(x)|g(x)-g(x)|f(x)-f(x)|g(x)-g(x)|g(x)-g(x)h(x)-h(x)=f(x)+g(x)-f(x)+g(x)|=f(x)-f(x)-g(x)-g(x)|0h(x)h(x) 所以h(x)在R上是增函数.例4 已知函数R，R），在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行，设曲线的所有切线的倾斜角组成的集合为，与切线垂直的直线的倾斜角为组成的集合为（1）求的值及切线的方程；（2）求集合与集合解：（1）f(x)=x-4x+a由已知可得，方程x-4x+a=-1有两个相等实根，16-4(a+1)=0 a=3, 方程解为x
6、=2.当a=3时,f(x)=x-2x+3x f(2)=l的方程为:y-=-(x-2) 即 3x+3y-8=0（2）设过曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为k（由题意知k存在）则k=f(x)=x-4x+3=(x-2)-1-1M=或当0时, 当时, 四、 热身演练1 函数在区间上是增函数，那么表示的区间是( B )A B C D2已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，则的解集是( D )A (-3,0) B C D3设是以3为周期的奇函数，且，则( D )A B C D4函数的图象向左平移个单位后,所得到的图形对应的函数是( B )A偶函数,但不是奇函数 B奇函数,但不是偶函数C既是
7、奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数5设，则的反函数的解析式是( B )A BC D6已知偶函数的图象与轴有五个公共点，那么方程的所有实根之和等于 0 7设是定义在R上的等函数，且，又当32时，则的值是.8已知函数满足（R），且在时为增函数，则、按从大到小的顺序排列出来的是9设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有且（1）求及； （2）证明是周期函数解：（1）对x,x0,都有f(x+x)=f(x)f(x)f(x)=f()f()0,x0,1f(1)=f(=f()f()=f()=af()=af()=f()=f()f()=f()=af()=a（2）y=f(x)关于直线x=1对
8、称f(x)=f(1+1-x) 即f(x)=f(2-x),xR.f(x)是偶函数 即 f(x+2)=f(x),xRf(-x)=f(2-x) 即f(x+2)=f(x),xR所以f(x)是R上的周期函数,且2为一个周期.10已知函数（1）求的解析式及定义域； （2）判定的单调性，并说明理由.；（3）设的反函数是，求证：3，N时， 成立解：(1)令t=1-x则x=1-t f(t)=log由 得-1t1f(x)=log (-1x, 需证:22n+1(n3)2=(1+1)=1+n+n+12n+1当n3时,f(n)成立11已知是定义在的奇函数，且，若，且，（1）用定义证明：在-1,1上是增系数；（2）解不等式；（3）若对所有，恒成立，求实数的范围证：（1）任取-1xx1,，由于f(x)为奇函数，则f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=-1xx1 x+(-x)=x-x0, 进而f(x)-f(x)0 即 f(x)0 从而 即与矛盾！若 则()式显然不成立. 必有于是有 即而 nN且n1 n+12 即11+ .用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业
