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1、数学解题策略例说http:/www.DearEDU.com江苏省太仓高级中学 徐彩娥 学数学离不开解题，解题离不开解题策略，面对一道数学题，我们应如何合理探求解题思路呢？对此本文作些探讨，仅供参考。一. 着眼“定义”事半功倍 定义是揭示概念内涵的逻辑方法，优先考虑从定义入手解题，注意挖掘隐含条件，往往可找到解题途径，简化解题途径。 例1. 已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求： （1）的最小值； （2）的最小值和最大值。 解：（1）如图1，A为椭圆的右焦点，作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，图1 问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和
2、最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。 （2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 即。当P到P”位置时，有最大值，最大值为；当P到P位置时，有最小值，最小值为。二. 整体思想 简化运算 整体思想伴随着优化、审美的意识：冲破常规束缚，优先考虑整体把握，宏观处理问题，可避开分类，绕开讨论，简化运算，减缩思维过程。 例2. 如下图2，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有_种。图2 分析：六条可把每个岛之间连接起来，这六条线中取三座桥有
3、种方法，减去不能把四个岛连接起来的情况（A、B、C、B、C、D、A、C、D、A、B、D），共有种建桥方案。 例3. 方程所表示的曲线是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 分析：两边平方，再化简是常规思路，但结果含有xy项，不好判断，把原方程改写为，则问题化归为动点P（x，y）到定点（-3，1）与到定直线的距离之比为的轨迹问题，由圆锥曲线定义知点P的轨迹为双曲线，选D。三. 范围优先 力避错误 1. 重视数学解题过程中保持变量范围的等价性，是变量范围的重要特征。 例4. 已知正实数a、b、c，满足，求的最小值。 错解：由 三式相加得 把已知代入得得 的最小值是5 剖析：运用非严格
4、不等式的运算性质，一定要注意探讨等式成立的条件，本例只有中的等号同时成立，即时，中的等号才成立，这与矛盾，所以中的等号不成立。本例的正确答案是9而非5。 2. 避免主观臆断，重视从条件中挖掘隐含的变量范围，是变量范围的重要内容。 例5. 求下列函数的奇偶性 （1） （2） 判断函数的奇偶性问题，极易犯两种错误，一是忽视定义域关于原点对称的必要条件，二是仅从形式判断函数关系式是否满足奇偶函数的定义。 错解：（1） ，是偶函数 （2） 故为非奇偶函数 剖析：（1）错因在于忽视对定义域的优先考虑，由得定义域关于原点不对称，故知函数非奇偶性。 （2）本原因是没有通过函数进行等价变形 由且 得的定义域为
5、 于是从而易知是奇函数四. 赋值探路 水到渠成 1. 在作二项式定理有关问题时，往往遇到二项式系数和以及项的系数和的一些问题，如果从特值考虑，合理取值，将使解题更便捷，求解更直接。 例6. 已知，求： （1）； （2）； （3）。 分析：本题对x取不同的值，求得某些系数的和。 令，则 令，则 （1）令得 （2）（）2： （）2： 点评：以上运用的是赋值法，它的模式是对任意，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立，它的灵活性强，操作方便，代入值之后解题更快捷。 2. 在解几何题时，根据题目条件选取由线成点的特殊位置以求快速解答的能力。 例7. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线与PQ两点
6、，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ） A. 2aB. C. 4aD. 解：F（0，）取PQ的特殊位置PQ/x轴，将F（0，）代入抛物线方程易得 则，故选C，若直线取PQ为通径。五. 逆向思维 走出困境 在解概率的有关问题时，往往遇到一些问题分类比较多，不好理解，而从问题的反面出发，将会使问题变得简单。 例8. 有币按面值分类如下：壹分5枚、贰分3枚、伍分2枚，从中随机抽取3枚。试计算：至少有2枚币值相同的概率。 解：设“至少有2枚币值相同”的对立事件A，3枚硬币各不相同的概率是： 至少有2枚币值相同的概率： 点评：在求某些复杂事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是求此事件的对立事件的概率。利用概率的可加性及对立事件概率之间的关系，可以大大的简化某些事件概率的计算。用心 爱心 专心 119号编辑 5
