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1、1 一质点在平面上运动 运动方程为一质点在平面上运动 运动方程为 x 3t 5 y t2 2 3t 4 式中式中t 以以 s计 计 x y 以以m计 计 1 以时间以时间 t 为变量 写出质点位置矢量的表示式 为变量 写出质点位置矢量的表示式 2 求出求出 t 1 s 时刻和时刻和 t 2s 时刻的位置矢量 计算这时刻的位置矢量 计算这1秒内质点的位秒内质点的位 移 移 3 计算计算 t 0 s时刻到时刻到 t 4s时刻内的平均速度 时刻内的平均速度 4 求出质点速度矢量表示式 计算求出质点速度矢量表示式 计算 t 4 s 时质点的速度 时质点的速度 5 计算计算t 0s 到到t 4s 内质点
2、的平均加速度 内质点的平均加速度 6 求出质点加速度矢量的表示式 计算求出质点加速度矢量的表示式 计算t 4s 时质点的加速度时质点的加速度 请把请把 位置矢量 位移 平均速度 瞬时速度 平均加速度 瞬时加速度位置矢量 位移 平均速度 瞬时速度 平均加速度 瞬时加速度 都表示成直角坐标系中的矢量式都表示成直角坐标系中的矢量式 解 解 1 jttitr 43 2 1 53 2 2 将将 代入上式即有代入上式即有 jir 5 08 1 jjr 411 2 jjrrr 5 43 12 3 jirjjr 1617 45 40 104 sm53 4 2012 04 ji jirr t r v 4 1 s
3、m 3 3 d d jti t r v jivt 734 4 时 时 5 jivjiv 73 33 40 204 sm1 4 4 4 j vv t v a 6 2 sm1 d d j t v a 这说明该点只有这说明该点只有y方向的加速度 且为恒量 方向的加速度 且为恒量 2 已知一质点作直线运动 其加速度为 已知一质点作直线运动 其加速度为 a 4 3t 开始运动开始运动 时 时 x 5 m v 0 求该质点在求该质点在t 10s 时的速度和位置 时的速度和位置 解 解 t t v a34 d d 分离变量 得分离变量 得 ttvd 34 d 积分 得积分 得 tdtvd tv 00 34
4、12 sm19010 2 3 10410 vt时 时 当当 2 2 3 4ttv 2 2 3 4 d d tt t x v 又又 分离变量分离变量 得得 tttxd 2 3 4 d 2 积分 得积分 得 tx dtttdx 0 2 5 2 3 45 2 1 2 32 ttx m705510 2 1 10210 32 xt时 时 当当 3 一物体以初速度 一物体以初速度v0 仰角仰角a 由地面抛出 并落回到与抛出由地面抛出 并落回到与抛出 处同一水平面上 求地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半处同一水平面上 求地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半 径与最小曲率半径 径与最小曲率半径 解 解 以以q
5、q 表示物体在运动轨道上任意点表示物体在运动轨道上任意点P P处其速度与水平方向处其速度与水平方向 的夹角的夹角 如图如图 P 0 v v qcosvcosv 0 qcosgan 又 q 2 22 0 2 cos cosv v 2 v q 3 22 0 2 cos cosvv gan 又因为又因为0 q q 所以 所以 cos 2 0max gv g cos 22 0min v 4 一质点以相对于斜面的速度从其顶端沿斜面下滑 其中 一质点以相对于斜面的速度从其顶端沿斜面下滑 其中y为下为下 滑的高度 斜面倾角为滑的高度 斜面倾角为 它在地面上以水平速度它在地面上以水平速度u向质点滑下的向质点滑
6、下的 前方运动 求质点下滑高度为前方运动 求质点下滑高度为h h小于斜面高度小于斜面高度 时 对地速度的时 对地速度的 大小和方向 大小和方向 解 解 选取如图所示的坐标系 以表示选取如图所示的坐标系 以表示 质点的对地速度 其质点的对地速度 其x y方向投影为方向投影为 x O h v x y u V y v Vy ugyuV xx cos2v sin2gyV yy v 当当y h 时 速度的大小为 时 速度的大小为 2 cos222 2 22 ghughu yx VVV 速度的方向与速度的方向与x轴夹角为轴夹角为 ugh gh x y cos2 sin2 tgtg 11 V V 5 一质点
7、沿半径为 一质点沿半径为1 m 的圆周运动 运动方程为的圆周运动 运动方程为 q q 2 3t3 式中式中 q q以弧度计 以弧度计 t 以秒计 求 以秒计 求 1 t 2 s时 质点的切向和法向加时 质点的切向和法向加 速度 速度 2 当加速度的方向和半径成当加速度的方向和半径成45 角时 其角位移是多少 角时 其角位移是多少 解 解 t t t t 18 d d 9 d d 2 q q 1 t 2s时时 2 sm362181 Ra 2222 sm1296 29 1 Ran 2 当加速度方向与半径成当加速度方向与半径成 角时 有角时 有 145tan n a a RR 2 9 2 3 t r
8、ad67 2 9 2 3232 3 tq q 0 45 6 当一轮船在雨中航行时 它的雨篷遮着篷的垂直投影后当一轮船在雨中航行时 它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 2 m m的的 甲板上 篷高甲板上 篷高4 4 m m 但当轮船停航时 甲板上干湿两部分的分界线但当轮船停航时 甲板上干湿两部分的分界线 却在篷前却在篷前3 3 m m 如雨滴的速度大小为如雨滴的速度大小为8 8 m m s s 1 1 求轮船的速率 求轮船的速率 解 解 依题意作出矢量图如下所示 依题意作出矢量图如下所示 4 V雨船 雨船 2 V船地 船地 3 V雨地 雨地 船地船地雨船雨船雨地雨地 vvv 由图中比例关系可知由图中比
9、例关系可知 1 sm8 yxv船地 船地 5m v 8 3m x 2 m y 7 一质点沿半径为 一质点沿半径为R的圆周运动 质点所经过的弧长与时间的关系的圆周运动 质点所经过的弧长与时间的关系 为为S bt ct2 2 其中其中b c是大于零的常量 求从开始到切向加速度与是大于零的常量 求从开始到切向加速度与 法向加速度大小相等时所经历的时间 法向加速度大小相等时所经历的时间 解 解 ctbtS d dv ctat d dv Rctban 2 根据题意 根据题意 at an Rctbc 2 即即 c b c R t 1 一细绳跨过一定滑轮 绳的一边悬有一质量为一细绳跨过一定滑轮 绳的一边悬有
10、一质量为m1的物体 另一的物体 另一 边穿在质量为边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中 圆柱可沿绳子滑动 今看的圆柱体的竖直细孔中 圆柱可沿绳子滑动 今看 到绳子从圆柱细孔中加速上升 柱体相对于绳子以匀加速度到绳子从圆柱细孔中加速上升 柱体相对于绳子以匀加速度a 下滑 下滑 求求m1 m2相对于地面的加速度 绳的张力及柱体与绳子间的摩擦相对于地面的加速度 绳的张力及柱体与绳子间的摩擦 力力 绳轻且不可伸长 滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计 绳轻且不可伸长 滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计 解 解 以向下为正建立坐标系以向下为正建立坐标系 对两物体进行受力对两物体进行受力 分析 如右图分析 如右图
11、111 amTgm 222 amfgm fT 12 aaa 联立以上四式 得联立以上四式 得 21 21 21 121 2 21 221 1 2 mm agmm Tf mm amgmm a mm amgmm a 讨论 讨论 1 若若a 0 则则a1 a2 表示柱体与绳之间表示柱体与绳之间无相对滑动无相对滑动 2 若若a 2g 则 则T f 0 表示柱体与绳之间无任何作用表示柱体与绳之间无任何作用 力 此时力 此时m12m 均作均作自由落体运动自由落体运动 2 质量为质量为m的子弹以速度的子弹以速度v 0水平射入沙土中 设子弹所受阻力与水平射入沙土中 设子弹所受阻力与 速度反向 大小与速度成正比
12、 比例系数为速度反向 大小与速度成正比 比例系数为 忽略子弹的重力 忽略子弹的重力 求 求 1 子弹射入沙土后 速度随时间变化的函数式 子弹射入沙土后 速度随时间变化的函数式 2 子弹进入子弹进入 沙土的最大深度 沙土的最大深度 解 解 以子弹为研究对象 子弹进入沙土后受力为 以子弹为研究对象 子弹进入沙土后受力为 v vK t m d vd v v0 0 v vd d v vd d t t m K t m K mKt 0 evv 2 求最大深度求最大深度 t x d d v tx mKt dd 0 ev tx mKt tx ded 0 0 0 v 两边积分得 两边积分得 1 0 mKt Km
13、x ev Kmx 0max v 3 质量分别为 质量分别为m1和和m2的两个滑块的两个滑块A和和B 分别穿于两条平行且水分别穿于两条平行且水 平的光滑导杆上 二导杆间的距离为平的光滑导杆上 二导杆间的距离为L 再以一劲度系数为再以一劲度系数为k 原原 长为长为L的轻质弹簧连接二滑块 如图所示 设开始时滑块的轻质弹簧连接二滑块 如图所示 设开始时滑块A与滑与滑 块块B之间水平距离为之间水平距离为l 且两者速度均为零 求释放后两滑块的最且两者速度均为零 求释放后两滑块的最 大速度分别是多少 大速度分别是多少 A m1 m2 B l L 解 解 由题意可知 二滑块构成的系统由题意可知 二滑块构成的系
14、统 机械能守恒机械能守恒 而且沿水平方向的 而且沿水平方向的 动量守恒动量守恒 当二滑块运动到正好当二滑块运动到正好 使弹簧垂直于二导杆时 二滑块使弹簧垂直于二导杆时 二滑块 所受的弹力的水平分力同时为零 所受的弹力的水平分力同时为零 这时二滑块的速度将分别达到其这时二滑块的速度将分别达到其 最大速度最大速度v1和和v2且此时弹簧为原长 且此时弹簧为原长 弹簧势能为零 弹簧势能为零 开始时系统的机械能为开始时系统的机械能为 0 2 1 222 K p E LLlkE 对此系统应用机械能守恒定律和动量守恒定律得对此系统应用机械能守恒定律和动量守恒定律得 2 22 2 11 2 1 2 1 vvm
15、m 222 2 1 LLlk 0 2211 vvmm 联立 解得联立 解得 211 222 1 mmm km LLl v 212 122 2 mmm km LLl v 4 一质量为 一质量为m的质点在的质点在Oxy平面上运动 其位置矢量为平面上运动 其位置矢量为 SI 求质点的动量及求质点的动量及t 0到到t 2 时间内质点所受的合力的冲量和质点时间内质点所受的合力的冲量和质点 动量的改变量 动量的改变量 jtbitar sincos 解 解 质点的动量为质点的动量为 cossin j tbi tamvmp 把把t 0和和t 2 代入上式 代入上式 j bmp 1 i amp 2 则动量的增量
16、亦即质点所受外力的冲量为则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 12 j bi ampppI 5 如图所示 自动卸料车连同料重为 如图所示 自动卸料车连同料重为G1 它从静止开始沿着与它从静止开始沿着与 水平面成水平面成30 的斜面滑下 滑到底端时与处于自然状态的轻弹簧的斜面滑下 滑到底端时与处于自然状态的轻弹簧 相碰 当弹簧压缩到最大时 卸料车就自动翻斗卸料 此时料车相碰 当弹簧压缩到最大时 卸料车就自动翻斗卸料 此时料车 下降高度为下降高度为h 然后 依靠被压缩弹簧的弹性力作用又沿斜面回然后 依靠被压缩弹簧的弹性力作用又沿斜面回 到原有高度 设空车重量为到原有高度 设空车重量为G2 另外假定摩擦阻力为车重的另外假定摩擦阻力为车重的0 2 倍 求倍 求G1与与G2的比值 的比值 h 解 解 设弹簧被压缩的最大长度为 设弹簧被压缩的最大长度为l 劲劲 度系数为度系数为k 在卸料车由最高点下在卸料车由最高点下 滑到弹簧压缩最大这一过程中 应滑到弹簧压缩最大这一过程中 应 用功能原理有用功能原理有 hGkl hG 1 21 2 1 sin 2 0 对卸料车卸料后回升过程应用功能原理 可得对卸
