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1、山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测（一模）数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，集合，由此能求出【详解】集合， 集合， 故选：C【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知为虚数单位，实数a，b满足(2i)(abi)=(8i)i，则ab的值为（）A. 6B. -6C. 5D. -5-5【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可得答案【详解】(2-i)(a-bi)=2a-b-(2b+
2、a)i=(-8-i)i=1-8i，2a-b=1-(2b+a)=-8，解得a=2b=3ab的值为6故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题3.已知x，y满足约束条件x-y+60x3x+y-30，则z=yx-6的最小值是（）A. -3B. -35C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可【详解】作出x，y满足约束条件x-y+60x3x+y-30对应的平面区域如图（阴影部分）：则的几何意义为区域内的点到定点P（6，0）的直线的斜率，由图象可知当直线过A点时对应的斜率最小，由x=3x-y+6=0，解得A(3,9
3、)，此时PD的斜率z=93-6=-3，故选：A【点睛】本题主要考查线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义4.已知函数f(x)=sin(x+)0,|2图象的相邻两对称中心的距离为2，且对任意xR都有f(4+x)=f(4-x)，则函数y=f(x)的一个单调递增区间可以为（）A. -2,0B. 6,23C. 4,34D. -4,4【答案】D【解析】【分析】根据条件求出函数的周期和，利用条件判断函数的对称性，然后结合函数单调性的性质进行求解即可【详解】函数f(x)图象的相邻两对称中心的距离为2，T2=2，即T=，2=，=2，对任意xR都有f4+x=f4-
4、x，函数关于x=4对称，即24+=k+2，kz，即=k，kz，|0)焦点F作倾斜角为4的直线，若与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（）A. 83B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，由点差法得到y1-y2x1-x2y1+y2=2p，因为过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，所以y1-y2x1-x2=1，AB方程为：y=x-P2，故y1+y2=2p，AB中点横坐标为3p2，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，能求出p【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，则y12=2
5、px1y22=2px2，-，得：y1-y2y1+y2=2px1-x2，y1-y2x1-x2y1+y2=2p，过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，y1-y2x1-x2=1，AB方程为：y=x-P2，y1+y22为AB中点纵坐标， y1+y2=2p，y1=x1-p2，y2=x2-p2，y1+y2=x1+x2-p，x1+x2=y1+y2+p，x1+x22=y1+y2+p2=3p2，AB中点横坐标为3p2，线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，p2+3p2=4，解得p=2故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答
6、，注意合理地进行等价转化7.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A. 716B. 916C. 35D. 12【答案】B【解析】【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P(A)=9S小三角形16S小三角形=916，得解【详解】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点
7、落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P(A)=9S小三角形16S小三角形=916，故选：B【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，熟记公式即可，属于常考题型8.在ABC中，AD=2DB，CE=2EA，则（）A. DE=13CA-23CBB. DE=13CA+23CBC. DE=23CA-13CBD. DE=23CA+13CB【答案】A【解析】【分析】由平面向量的基本定理结合向量共线定理，即可得解.【详解】DE=DA+AE=23BA-13CA =23(CA-CB)-13CA=13CA-23CB，故选：A【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟记基本定理即可，属于常考题型9.
8、已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若OAB与OMN的面积比为1:9，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. y=2xB. y=22xC. y=23xD. y=8x【答案】B【解析】【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得ba22，即可求出渐近线方程【详解】由三角形的面积比等于相似比的平方，则19a2c2，a2+b2a2=9b2=8a2，ba22，C渐近线方程为y22x，故选：B【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，考查了三角形面积之比等于相似比这一转化
9、，题目比较基础.10.设a=0sinxdx，则(x+ax)8展开式中的常数项为（）A. 560B. 1120C. 2240D. 4480【答案】B【解析】【分析】计算定积分求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求出x+ax8展开式中的常数项【详解】设a=0sinxdx=-cosx0=2，则x+ax8=x+2x8展开式中的通项公式为Tr+1=C8r2rx8-2r，令8-2r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C8416=1120，故选：B【点睛】本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11.在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角
10、形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵已知在堑堵ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=AA1=2， BC=22，则CA1与平面ABB1A1所成角的大小为（）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CA1与平面ABB1A1所成角的大小【详解】在堑堵ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=AA1=2，BC=22，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为轴，建立空间直角坐标系，则C(0,22,0)，A1(2,0,2)，A1C=(-2,22,-2)，平面ABB1A1的法向量n=(0,
11、1,0)，设CA1与平面ABB1A1所成角的大小为，则sin=A1CnA1C|n|=22161=22，CA1与平面ABB1A1所成角的大小为45故选：B【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题12.已知函数f(x)=2x-xlnx,x0-x2-32x,x0，若方程f(x)=kx+1有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A. 13,1B. (13,2)C. 12,45D. 12,1【答案】D【解析】【分析】由方程的根的个数与函数图象交点个数的关系得：方程f(x)=kx+1有四个
12、不相等的实根，等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点，结合导数求函数图象的切线方程可得：当直线y=kx+1与函数f(x)=-x2-32x相切时，k=12，当直线y=kx+1与函数f(x)=2x-xlnx相切时，利用导数的几何意义可得：k=1，再结合像图知函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点时，实数k的取值范围是12k1，得解【详解】因为方程f(x)=kx+1有四个不相等的实根，等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点，易得：当直线y=kx+1与函数f(x)=-x2-32x相切时,方程kx+1=-x2-32x只有一个实根，即x2+k+32x+1=0只有一个实根
13、，故=0，即(k+32)2-4=0，k=12或k=-72(舍)；当直线y=kx+1与函数f(x)=2x-xlnx相切时，设切点坐标为P(x0，y0),因为fx=1-lnx，所以fx0=1-lnx0；所以切线方程为y-(2x0-x0lnx0)=(1-lnx0)(x-x0)，即y=1-lnx0x+x0；又切线方程为y=kx+1，所以x0=1，k=fx0=1-lnx0=1，由图知函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点时，实数k的取值范围是12k1，故选：D【点睛】本题考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，属中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若tan=2，则cos(2+)=_【答案】35.【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cos(2+)的值【详解】tan
