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1、高考数学方法选讲 几种常见解不等式的解法不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握
2、一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x
3、)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x+1，1，1，1必不可少，这恰好是容易忽略的地方 技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(
4、x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 例2设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围 错解分析 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错 技巧与方法 该题实质上是二次函数的区间根问题，
5、充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗 解 M1，4有两种情况 其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2 当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4时，a的取值范围是(1，) 例3解关于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化为 0，当
6、a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2） 例4（1998年全国卷文） 设ab，解关于x的不等式a2x+b2(1-x)ax+b(1-x)2分析 这是一道关于x的一元二次不等式，含参数较多，把它化为一元二次不等式的一般形式即可解 a2x+b2-b2xa2x2+2abx(1-x)+b2(1-x)2 整理，得 00x1 点评 本题字母
7、较多，除x外还有a、b，从表面上看较繁杂，这对考生心理是一个考验，其实把它化为一元二次不等式一般形式，问题便迎刃而解 高考中含有参数又无需对参数进行分类讨论的题目并不多见例5 设aR，函数f(x)=ax2+x-a（-1x1）(1) 若|a|1，证明|f(x)|；(2) 求a的值，使函数f(x)有最大值分析 应用绝对值不等式的性质求解解 （1）因为|x|1，|a|1，有|f(x)|=|a(x2-1)+x|a(x-1)|+|x|=|a|x2-1|+|x|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=（2）先讨论x2的系数a是否为零当a=0时，f(x)=x（-1x1）的最大值是f(1)=1，这与题设相矛
8、盾，从而a0，故知f(x)是二次函数 因为，所以f(x)=ax2+x-a（-1x1）有最大值，等价于 即 a=-2 注 从判定f(x)是二次函数入手，确定抛物线f(x)的顶点横坐标，且在顶点处f(x)产生最大值，这样就形成了求参数a的不等式组 与二次函数相关的不等式，包含两个方面，解不等式与证明不等式 在很多情况下这是两个交叉的问题，要用到二次函数的极值的性质、增减性、图象与x轴的位置关系等 这类题历来难度大，区分度高，综合性强 学生平时练习题与试题差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力及较高的数学素质才能取得较高的分数例6（2000年全国高考题） 设函数，其中a0 （1）解不等式f(x)1 （
9、2）求a的取值范围，使函数f(x)在区间0，+上是单调函数分析 这是含参数a的函数与不等式的综合题，考查不等式的解法，函数单调性，分类讨论思想及运算、推理等知识和能力，本题构题简单，看起来容易，入手也不难，但对思维能力要求很高 第一问易采用习惯解法，陷入繁杂的计算（见解法二），深入挖掘隐含条件，发现x0，则可大大简化解题过程，第（2）问表面上看，与第（1）问结论无关，事实上紧密相连，解证结合，按照函数单调性的定义以确定参数a的取值对单调区间的影响是最好的解法解 （1）解法一：不等式f(x)1，即1+ax 由此得11+ax，即ax0，其中常数a0 原不等式等价于 即 所以，当0a1时，的解为x0
10、或xx0能使成立，由，得，所以a1时，不能使成立当0a1时，的解为0x，能使成立 综上，当0a1时，不等式的解集为x；当a1时，不等式的解集为x|x0（2）在区间0，上任取x1、x2，使得x1x2 （）当a1时， 又，即所以，当a1时，函数f(x)在区间0，上单调递减函数（）当0a1时，在区间0，上存在两点，x1=0，满足f(x1)=1，f(x2)=1 即f(x1)=f(x2)，所以f(x)在区间0，上不是单调函数综上，当且仅当a1时，函数f(x)在区间0，上是单调函数点评 本题是一个难得的优秀试题，能明显地区分思维能力不同层次的学生，第（1）问的两种解法代表了两种不同层次的思维能力，第（2）
11、问由函数单调性的定义入手，运用分子有理化，提取公因式，放缩求界值1，等多种手段才完成了（）中当a0时函数单调性的证明，而对（）中，f(x1)=f(x2)=1的特例的寻觅，也都表现出考生优秀的思维品质与扎实的基础知识，应深入体会，注意积累对（）中当0a1时，也可由正负不定，推导出函数f(x)在0，上不是单调函数本题第（2）问是探索性的开放题求解含参数的不等式、方程问题须着重掌握如下原则和方法：注意等价转化的基本原则，具体地说，就是分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值；熟练掌握分类讨论的基本原则和基本方法，要注意分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在障碍未出现时不要提前进行分类
12、讨论；有些不等式的解决可转化为两函数图像间的位置关系，要对用数形结合法解不等式引起高度重视；在不含参数不等式的求解时也可能运用分类讨论的方法，但它与含参数不等式求解时对分类讨论的运用是不同的，前者是对未知数在可能的取值范围内进行分类讨论，各类别下求得的解集，必须取其“并”，才是原不等式的解集，后者是对其中的参数作出分类讨论，各类别下求得的解集毫无关系，故决不能取“并”学生巩固练习 1 设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A (，2)(，+)B (，)C (，2)(，1)D (2，)(1，+)2 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解
13、集是(，)，则f(x)g(x)0的解集是_ 3 已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_ 4 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3 (1)求p的值；(2)若f(x)=，解关于x的不等式f-1(x)(kR+)5 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论 6 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2 (1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值 并求此时f(sin)的最小值 7 解不等式loga(x)18 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 参考答案 1 解析 由f(x)及f(a)1可得 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范围是(，2)(，1）答案 C2 解析 由已知ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0的解集是(b，a2)，g(
