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1、第二章 平面向量一、基础知识（理解去记）定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得
2、a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2,
3、 y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使，叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平
4、移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab
5、|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、基础例题【必会】1向量定义和运算法则的运用例1 设O是正n边形A1A2An的中心，求证：【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2 给定ABC，求
6、证：G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结BQ，QD。因为，所以= 又因为同理 ， ， 由，可得。得证。 2证利用定理证明共线例4 ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求
7、证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3利用数量积证明垂直例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 已知ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。【证明】 设，则，又，所以a(b-c). （因为|a|2=|
8、b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算例7 已知四边形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.又因为，所以x2+y2=2.由，解得所以设，则。由和共线得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、趋近高考【必懂】1.（成都市20
9、10届高三第三次诊断理科）已知向量a(3,2),b(2,1),则|a2 b|的值为( )(A)3(B)7 (C) (D)【答案】C【解析】因为a2 b(1,4) 故|a2 b|2. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线，若向量a+b与b+a的方向相反，则=（ C ）（A）1（B）0 （C）-1 （D）1 3（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知为非零向量，函数，则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是( C ) ABCD4（资阳市20092010学年度高三第三次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点A(1，1)，B(2，4)，C(1，3)，则 （ B
10、 ）（A）（B）（C）8（D）105（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）如图：正六边形中，下列命题错误的是（ C ）A B C D6.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知，则向量与向量的夹角是（ C ）A. B. C. D. 7(成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足，则的夹角是（ A ）ABCD二、填空题：8（自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：是的充分不必要条件；若函数满足，则是周期函数；如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都改变。其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。
11、9.（眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）设是平面内的四个单位向量，其中与的夹角为，对这个平面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量，设向量，则经过一次“斜二测变换”得到向量的模是_.10（省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量， ，则 5 .11（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量，若与垂直，则 2 .12.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知点和向量，若，则点的坐标为. 13.（攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）已知椭圆的离心率为，且其焦点到相应准线的距离为，过焦点的直线与椭圆交于两点. ()求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的右顶点，则直线与准线分别交于两点（两点不重合），求证：.【解析】直线AB的方程为又设联立 消y得 又A、M、P三点共线， 同理， 综上所述： - 8 -用心 爱心 专心
