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1、第二章 平面向量一、基础知识(理解去记)定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得
2、a=f定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,则(x, y)叫做c坐标。定义4 向量的数量积,若非零向量a, b的夹角为,则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x1, y1), b=(x2,
3、 y2),1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac,3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数,使,叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平
4、移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|,并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20,又|ab|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn),b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+xnyn)20,又|ab
5、|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+xnyn)2。2)对于任意n个向量,a1, a2, ,an,有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、基础例题【必会】1向量定义和运算法则的运用例1 设O是正n边形A1A2An的中心,求证:【证明】 记,若,则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以例2 给定ABC,求
6、证:G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则又因为BC与GP互相平分,所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以所以充分性。若,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则因为,则,所以GBCP,所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示,结结BQ,QD。因为,所以= 又因为同理 , , 由,可得。得证。 2证利用定理证明共线例4 ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求
7、证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE又AHBC,所以AH/CE。又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。所以所以,所以,所以与共线,所以O,G,H共线。所以OG:GH=1:2。3利用数量积证明垂直例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 已知ABC内接于O,AB=AC,D为AB中点,E为ACD重心。求证:OECD。【证明】 设,则,又,所以a(b-c). (因为|a|2=|
8、b|2=|c|2=|OH|2)又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算例7 已知四边形ABCD是正方形,BE/AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。【证明】 如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x, y),则=(x, y-1), ,因为,所以-x-(y-1)=0.又因为,所以x2+y2=2.由,解得所以设,则。由和共线得所以,即F,所以=4+,所以AF=AE。三、趋近高考【必懂】1.(成都市20
9、10届高三第三次诊断理科)已知向量a(3,2),b(2,1),则|a2 b|的值为( )(A)3(B)7 (C) (D)【答案】C【解析】因为a2 b(1,4) 故|a2 b|2. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线,若向量a+b与b+a的方向相反,则=( C )(A)1(B)0 (C)-1 (D)1 3(雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科)已知为非零向量,函数,则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是( C ) ABCD4(资阳市20092010学年度高三第三次高考模拟理)已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(1,3),则 ( B
10、 )(A)(B)(C)8(D)105(泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科)如图:正六边形中,下列命题错误的是( C )A B C D6.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)已知,则向量与向量的夹角是( C )A. B. C. D. 7(成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足,则的夹角是( A )ABCD二、填空题:8(自贡市2010届高三三诊理科试题)有下列命题:是的充分不必要条件;若函数满足,则是周期函数;如果一组数据中,每个数都加上同一个非零常数c,则这组数据的平均数和方差都改变。其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号)。
11、9.(眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科)设是平面内的四个单位向量,其中与的夹角为,对这个平面内的任一个向量,规定经过一次“斜二测变换”得到向量,设向量,则经过一次“斜二测变换”得到向量的模是_.10(省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科)已知向量, ,则 5 .11(泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科)已知向量,若与垂直,则 2 .12.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)已知点和向量,若,则点的坐标为. 13.(攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)(12分)已知椭圆的离心率为,且其焦点到相应准线的距离为,过焦点的直线与椭圆交于两点. ()求椭圆的标准方程;()设为椭圆的右顶点,则直线与准线分别交于两点(两点不重合),求证:.【解析】直线AB的方程为又设联立 消y得 又A、M、P三点共线, 同理, 综上所述: - 8 -用心 爱心 专心