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1、20172018学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】求解不等式可得：，则集合.本题选择A选项.2. 已知函数，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件得 所以 ,选B.4. 等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 所以 ,选A.5. 已知锐角的内角的对边分别为中，且满足，则(
2、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，ABC为锐角三角形，则，由余弦定理有：，整理可得：，边长为正数，则.本题选择C选项.6. 函数的零点的个数是( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以共有3个零点,选B.7. 若变量，且满足线性约束条件，则目标函数的最大值等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，观察可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择C选项.8. 已知函数的周期为若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的解析式即：，结合最小正周期公式有：将其图像沿轴向右平移个单位所得函数解析式为，该函数图像关于坐标原点对称，则当时：，故，取可得：.本题选择D选项.9. 用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A. B. C. D. 【答案】D【解析】等式的左边为 等式的左边为所以需要增乘的代数式是 ,选D.10. 定义运算 ，若函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以,选A.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的
4、对称轴进行分类讨论(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A（A）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)11. 已知命题：“若，则”的命题是“若，则”；函数，则“是偶函数”是“的充分不必要条件”则下述命题； ； ； ，其中的真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为真命题；因为函数时“是偶函数”是“的必要不充分条件，所以为假命题，因此为真命题，选C.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.12. 在所在平面上有三点，满足,则
5、的面积与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由 ，为线段的一个三等分点，同理可得的位置，的面积为的面积减去三个小三角形面积，面积比为,故选B考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分
6、20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，则等于_.【答案】【解析】由题意可得：，则：，据此有：.14. 若，则的由小到大的顺序关系是_.【答案】【解析】 , , 所以15. 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为_.【答案】【解析】因为前n行共有 所以数表中的应记为16. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】作函数 图可知， ，所以实数的取值范围是点睛：对于方程整数解的问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从
7、图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 函数,部分图像如图所示，（）求的值；（）若为第三象限的角，试求的值.【答案】(),，；().【解析】试题分析：()由题意结合三角函数的性质可得,，；() 由（）知，据此可得，结合同角三角函数基本关系有试题解析：（）由题中图可知,周期，由图知，,，（）由（）知，即，又为第三象限的角，18. 已知数列的前项和为，（）求证：数列是等比数列；（）设数列的首项，其前项和为，且点在直线上，求数列的前项和【答案】()证明见解析；()【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系
8、转化为项之间递推关系，再整理成等比数列形式，最后根据等比数列定义给予证明（2）先根据等差数列定义求通项公式，得，再根据和项与通项关系求数列通项公式，最后利用错位相减法求试题解析：（）由， 得， -，得，由得是以为首项，公比为的等比数列，（）由（）得，点在直线上，是以为首项，公差为的等差数列，当时，又满足上式， ， -，得，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
9、19. 已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（）若,试判断的形状；（）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】()正三角形；()【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将角的关系得边的关系，再根据，利用余弦定理得，解得，从而确定三角形形状（2）先根据二倍角公式以及配角公式将代数式转化为基本三角函数，再根据钝角条件确定自变量范围，最后根据正弦函数形状确定取值范围试题解析：（）由正弦定理及，得三内角成等差数列，由余弦定理，得，又为正三角形，（）由（）知，中由题意，知，所求代数式的取值范围是20. 我市某矿山企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件该产品需另投入万元，设该企业年内共生产此种产
10、品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（）写出年利润（万元）关于产品年产量（千件）的函数关系式；（）问：年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？注：年利润=年销售收入-年总成本.【答案】()；()当年产量为千件时，该企业生产的此产品所获年利润最大. （2）对x进行分类讨论，分当和当两种情况进行讨论，根据导数在求函数最值中的应用，即可求出结果试题解析：解：（1）当时，。2分 当时，（2）当时，由 。当时， ；当时， ，当时，W取得最大值，即9分当，当且仅当综合知：当时，取得最大值为386万元。故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大（13分）考点
11、：1函数的应用；2导数在求函数最值中的应用21. 已知函数（）若函数的图像在点处的切线与直线平行，求实数的值；（）讨论函数的单调性；（）若在函数定义域内，总有成立，试求实数的最大值.【答案】()；()证明见解析；()【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）求导数并分解因式，根据a与1的大小分类讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数的单调性；（3）先化简不等式，并根据不等式恒成立转化为对应函数最值问题：最大值不大于零，再利用导数求得函数最值从而有的最大值，最后利用导数求得最大值，即得实数的最大值.试题解析：（）易得，且由题意，得，解得，（）由（）得，当时，函数在单调递减
12、，当时，由，得；由，得或函数在上单调递增，在上单调递减.当时，同理，得函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（）由题意，知恒成立，恒成立，恒成立，令，则只需，由，得，当时，此时，函数在上单调递减；当时，此时，函数在上单调递减，令，则只需由，得，此时，在上单调递减，由，得，此时，在上单调递减，即故所求实数的最大值为22. 已知函数（）解不等式；（）若对任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.【答案】()；()【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义可得不等式解集（2）先转化为函数值域包含问题：值域为值域子集，因此不小于最小值,再根据绝对值三角不等式得,最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（）由题设，得， ，所求不等式的解集为，（）由题意，知，或或故所求实数的取值范围是14
