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1、综合仿真练(五)1如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以
2、PACD，又ADPAA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.2(2019海安中学模拟)已知ABC内接于单位圆，且(1tan A)(1tan B)2，(1)求角C；(2)求ABC面积的最大值解：(1)(1tan A)(1tan B)2tan Atan B1tan Atan B，tan Ctan(AB)1，C.(2)ABC的外接圆为单位圆，其半径R1由正弦定理可得c2Rsin C，由余弦定理可得c2a2b22abcos C，代入数据可得2a2b2a
3、b2abab(2)ab，ab，ABC的面积Sabsin C，ABC面积的最大值为.3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2y2r2(r0)(1)若PFx轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；(2)若圆O的半径为，点P，Q满足kOPkOQ，求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值. 解：(1)因为椭圆C的方程为1，所以A(2,0)，F(1,0)因为PFx轴，所以P，根据对称性，可取P，则直线AP的方程为y(x2)，即x2y20.由圆O与直线AP相切，得r，所以圆O的方程为x2y2.(2)易知圆O的方程为x2y23.当PQx轴时，kOPk
4、OQk，所以kOP，xP，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为ykxb，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x20)，首先由kOPkOQ，得3x1x24y1y20，即3x1x24(kx1b)(kx2b)0，所以(34k2)x1x24kb(x1x2)4b20.(*)联立消去y，得(34k2)x28kbx4b2120，则x1x2，x1x2，将其代入(*)式，化简得2b24k23.由于圆心O到直线PQ的距离d，所以直线PQ被圆O截得的弦长l2，故当k0时，l有最大值为.综上，因为2，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.4(2019如皋中学模拟)如图，长
5、方形材料ABCD中，已知AB2，AD4.点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN150，点M，N分别在边AB，AD上(1)设FPN，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值解：(1)在直角NFP中，因为PF，FPN，所以NFtan ，所以SAPNNAPF(1tan ).在直角MEP中，因为PE1，EPM，所以MEtanSAPMMAPE1.所以SSAPNSAPMtan tan，(2)因为Stan ta
6、ntan 1tan ，由，得t1,4，所以S2 2.当且仅当t时，即tan 时等号成立此时，AN，Smin2.答：当AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2.5设fk(n)为关于n的k(kN)次多项式数列an的首项a11，前n项和为Sn.对于任意的正整数n，anSnfk(n)恒成立(1)若k0，求证：数列an是等比数列；(2)试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列解：(1)证明：若k0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)c(c为常数)因为anSnfk(n)恒成立，所以a1S1c，即c2a12.所以anSn2，当n2时，an1Sn12，得2anan10(n2，nN
7、*)若an0，则an10，a10，与已知矛盾，所以an0(nN*)故数列an是首项为1，公比为的等比数列. (2)()若k0，由(1)知，不符题意，舍去. ()若k1，设f1(n)bnc(b0，b，c为常数)，所以anSnbnc，当n2时，an1Sn1b(n1)c，得2anan1b(n2，nN*)要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列，必须有anbd(常数)，而a11，故an只能是常数数列，通项公式为an1(nN*)，故当k1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an1(nN*)，此时f1(n)n1.()若k2，设f2(n)an2bnc(a0，a，b，c是常数)，所以anSnan2bnc
8、，当n2时，an1Sn1a(n1)2b(n1)c，得2anan12anba(n2，nN*)要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列，必须有an2anbad，且d2a，考虑到a11，所以an1(n1)2a2an2a1(nN*)故当k2时，数列an能成等差数列，其通项公式为an2an2a1(nN*)，此时f2(n)an2(a1)n12a(a为非零常数). ()当k3时，若数列an能成等差数列，则anSn的表达式中n的最高次数为2，故k3时，数列an不能成等差数列综上得，当且仅当k1或2时，数列an能成等差数列6已知R，函数f (x)exex(xln xx1)的导函数为g(x)(1)求曲线yf
9、(x)在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)存在极值，求的取值范围；(3)若x1时，f (x)0恒成立，求的最大值解：(1)因为f(x)exeln x，所以曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为f(1)0，又f(1)0，所以切线方程为y0. (2)g(x)exeln x(x0)，g(x)ex.当0时，g(x)0恒成立，从而g(x)在(0，)上单调递增，故此时g(x)无极值. 当0时，设h(x)ex，则h(x)ex0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增. 当0e时，h(1)e0，hee0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0，使得h(x0)0.当e时，h(1)e0，h()e1
10、0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0.综上，当0时，存在唯一的x00，使得h(x0)0. 且当0xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，因此g(x)在xx0处有极小值所以当函数g(x)存在极值时，的取值范围是(0，)(3)g(x)f(x)exeln x(x0)，g(x)ex.若g(x)0恒成立，则有xex恒成立设(x)xex(x1)，则(x)(x1)ex0恒成立，所以(x)在1，)上单调递增，从而(x)(1)e，即e.于是当e时，g(x)在1，)上单调递增，此时g(x)g(1)0，即f(x)0，从而f(x)在1，)上单调递增所以f (x)f (1)0恒成立当e时，由(2)知，存在x0(1，)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f(x)在(0，x0)上单调递减所以当1xx0时，f(x)f(1)0，于是f(x)在1，x0)上单调递减，所以f(x0)f(1)0.这与x1时，f(x)0恒成立矛盾因此e，即的最大值为e.6
