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1、专题2数形结合思想数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.数形结合是历年高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中“以形助数”是其主要方面，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探求解题途径，对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果，对于解答题要重视数形转换的等价性论述，避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何
2、的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.1设命题甲：0x3，命题乙：|x1|PF2.双曲线的离心率e双，又e双(1,2)，所以12，得2；椭圆的离心率e椭，所以e椭.答案：3.设函数yf(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间0,1上的图象为如图所示的线段AB，则在区间1,2上，f(x)_.解析：法一：由yf(x)是最小正周期为2的函数，得到函数yf(x)在区间1,2上的图象为如图所示的线段BD.函数yf(x)在区间1,2上的图象是经过B(1,1)，D(2,2)的线段，由待定系数法，求得f(x)x(x1,2
3、)法二：当x0,1时，f(x)x2；当x1,0时，f(x)f(x)(x)2x2(0x1)，由最小正周期为2，得当x1,2时，f(x)f(x2)(x2)2x.答案：x4若方程lg(x23xm)lg(3x)在x(0,3)内有两个不同的解，则实数m的取值范围是_解析：原方程可化为(x2)21m(0x3)，设y1(x2)21(0xbc0，则，的大小关系是_解析：作出函数f(x)log2(x1)的图象，如图，而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知.答案：|ab|；当点D与点B重合时|axb|ab|.反之也成立，故M是N的充要条件法二：将不等式|axb|ab|两边平方后转化为b2x22(
4、ab)x2abb20对于任意实数x恒成立4(ab)24b2(2abb2)4(b2ab)20，b2ab0b(ba)0b(ab)答案充要本题是判断向量条件与数量条件之间的关系，利用向量加、减运算的几何意义构造三角形，可使向量、数量关系具体化已知(3，4)，将绕着原点逆时针旋转45后得到向量，则D点的坐标为_解析：法一：设D(x，y)，与的夹角为由题意可得| | |，cos ，所以解得或又是由绕着原点逆时针旋转45所得，由图可知D坐标为.法二：如图，将所在射线看作的终边，x正半轴看作始边，由三角函数定义可得A(5cos ，5sin )，即(5cos ，5sin )，又将绕着原点逆时针旋转45后得到向
5、量，所以.答案：已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点求PF1PA的最大值和最小值解由1可知a3，b，c2，左焦点F1(2,0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，PF12aPF26PF2，PF1PA6PF2PA6PAPF2. 如图：由|PAPF2|AF2 知PAPF2.当P在AF2延长线上的P2处时，右边取等号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，左边取等号即PAPF2的最大、最小值分别为、.于是PF1PA的最大值是6，最小值是6.圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形，借助定义数形结合求解已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到
6、抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_解析：点Q(2，1)在抛物线y24x的内部，要使点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知，需使点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小，即PQ准线l时最小则P.答案：函数f(x)(2x1)2，g(x)ax2(a0)，满足f(x)g(x)的整数x恰有4个，则实数a的取值范围是_解析在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x)(2x1)2，g(x)ax2的图象，则由两个函数的图象可知，yf(x)，yg(x)在区间(0,1)内总有一个交点要使满足不等式(2x1)2ax2的整数恰有4个，则只要
7、f(4)g(5)即可由得a.答案当不等式的解集不易求出时，可构造函数，利用函数的图象直观寻找不等式成立的条件已知a是实数，函数f(x)2a|x|2xa，若函数yf(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：易知a0，由f(x)0，即2a|x|2xa0，变形得|x|x，分别画出函数y1|x|，y2x的图象(如图所示)，由图易知当01或10时，y1和y2的图象有两个不同的交点，即当a1时，函数yf(x)有且仅有两个零点所以a的范围为(，1)(1，)答案：(，1)(1，)1数形结合，数形转化常应用于以下几个方面：(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数与图象的对应关系，导数的几何意义；(3)解析
8、几何中方程的曲线与方程的关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立的概念，如三角函数和向量；(5)所给代数式的结构含有明显的几何意义，如斜率、截距和距离等2数形结合的思想简而言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，充分利用图形的直观性和代数推理的合理性和严密性研究问题1已知函数f(x)|2x1|，若abf(c)f(b)，则下列结论中必成立的是_(填序号)a0，b0，c0；a0；2a2c；2a2c2.解析：画出f(x)的图象如下：由图象可得：a0，b在(a，c)之间，但符号不确定，排除，因为a0f(c)，所以ac，所以2a2c，排除，故选.答案：2设函数g(x)x22，f(x)则f(x)的值域是
9、_解析：依题意知f(x)即f(x)由图象得f(x)值域为(2，)答案：(2，)3已知u1，v1且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a1)，则loga(uv)的最大值为_，最小值为_解析：令xlogau，ylogav，则已知式可化为(x1)2(y1)24(x0，y0)再设tloga(uv)xy(x0，y0)，则当线段yxt(x0，y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0，y0)相切时，如图截距t取最大值tmax22(图中CD位置)；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin1(图AB位置)因此loga(uv)的最大值是22，最小值是1.答案：2214若直角坐标
10、平面内两点P，Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”有_个解析：设P(x，y)、Q(x，y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”，则y，y2(x)24(x)12x24x1，2x24x10，在同一坐标系中作函数y1、y22x24x1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”答案：25已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是_解析：
11、由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点答案：96(2012江苏高考)已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则的取值范围是_解析：由条件可得令x，y，则问题转化为约束条件为求目标函数z的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作yex的切线，切线方程为yex，切点P(1，e)在区域内故当直线yzx过点P(1，e)时，zmine；当直线yzx过点C时，zmax7，故e,7答案：e,77设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S44a16d10，即2a13d5，S55a110d15，即a12d3.又a4a13d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件下的线性目标函数的最值问题，作出可行域，如图可知当a4a13d，经过点A(1,1)时有最大值4.答案：48已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：如图，设弦AC，BD的中点分别为P，Q，连结OP，OQ，OM，则OPAC，OQBD，又ACBD，故四边形O
