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1、仅供参考 12 级遥感 资环 第 2 章 质点动力学 2 1 如附图所示 质量均为m的两木块 A B 分别固定在弹簧的两端 竖直的放在水平的 支持面 C 上 若突然撤去支持面 C 问在撤去支持面瞬间 木块 A 和 B 的加速度为多大 解 解 在撤去支持面之前 A 受重力和弹簧压力平衡 Fmg 弹 B 受支持面压力向上为2mg 与重力和弹簧压 力平衡 撤去支持面后 弹簧压力不变 则 A 平衡 0 A a B 不平衡 22 B Fmgag 合 2 2 判断下列说法是否正确 说明理由 1 质点做圆周运动时收到的作用力中 指向圆心的力便是向心力 不指向圆心的力不 是向心力 2 质点做圆周运动时 所受的
2、合外力一定指向圆心 解 1 不正确 不指向圆心的力的分量可为向心力 2 不正确 合外力为切向和法向的合成 而圆心力只是法向分量 2 3 如附图所示 一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动 称为圆锥摆 有人 在重力的方向上求合力 写出cos0TG 另有沿绳子拉力T的方向求合力 写出 cos0TG 显然两者不能同时成立 指出哪一个式子是错误的 为什么 解 解 cos0TG 正确 因物体在竖直方向上受力平 衡 物体速度竖直分量为 0 只在水平面内运动 cos0TG 不正确 因沿T方向 物体运动有分量 必 须 考 虑 其 中 的 一 部 分 提 供 向 心 力 应 为 2 cossinTGmr
3、仅供参考 12 级遥感 资环 2 4 已知一质量为m的质点在x轴上运动 质点只受到指向原点的引力的作用 引力大小与 质点离原点的距离x的平方成反比 即 2 k f x k为比例常数 设质点在xA 时的速 度为零 求 4 A x 处的速度的大小 解 解 由牛顿第二定律 Fma dv Fm dt 寻求v与x的关系 换元 2 kdv dxdv mmv xdx dtdx 分离变量 2 kdx vdv m x 2 0 vx A kdx vdv mx 2 111 2 k v m xA 当 4 A x 时 6k v mA 2 5 如附图所示 一质量分布均匀的绳子 质量为M 长度为L 一端拴在转轴上 并以 恒
4、定角速度 在水平面上旋转 设转动过程中绳子始终伸直不打弯 且忽略重力 求距转 轴为r处绳中的张力 T r 解解 22 dfdmrr dr 222 222222 11 222 LLL rrr MMLr Tdfr drrLr LL 仅供参考 12 级遥感 资环 2 62 6 如图所示 已知两物体 A B 的质量均为 m 3 0kg 物体 A 以加速度 a 1 0 m 2 运 动 求物体 B 与桌面间的摩擦力 滑轮与连接绳的质量不计 习题 2 6 图 解 解 如图所示 分别对物体和滑轮作受力分析 根据牛顿第二定律 运动方程为 AATA amFgm 1 BBfT amFF 1 2 02 1 TT FF
5、 3 因为mmm BA TT FF 11TT FF AB aa2 联立 1 2 3 式解得 N2 7 2 4 A f ammmg F 2 72 7 一质量为 10 kg 的质点在力 F 的作用下沿 x 轴作直线运动 已知 F 120t 40 式中 F 的单位为 N t 的单位的 在 t 0 时 质点位于 x 5 0 m 处 其速度 v0 6 0 m 求 质点在任意时刻的速度和位置 解 解 质点作直线运动 根据牛顿第二定律 有 t mt d d 40120 v B f F N F gmB A gmA 1T F A a B a A a T F 1T F 1T F T F 仅供参考 12 级遥感 资
6、环 分离变量并积分 tt t d 412 d 06 0 v v 得646 2 ttv 由txddv 两边积分 tttx tx d 646 d 0 2 5 0 得5622 23 tttx 2 82 8 质量为 m 的跳水运动员 从 10 0 m 高台上由静止跳下落入水中 高台距水面距离为 h 把跳水运动员视为质点 并略去空气阻力 运动员入水后垂直下沉 水对其阻力为 bv2 其中 b 为一常量 若以水面上一点为坐标原点 O 竖直向下为 Oy 轴 1 求运动员在水中的速率 v 与 y 的函数关系 2 如 b m 0 40m 1 跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率 v 减少到落水速率 v0 的
7、1 10 假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等 习题 2 8 图 解 解 1 跳水运动员在入水前作自由落体运动 入水速度为gh2 0 v 入水后根据牛顿 第二定律 运动方程为 maFFmg 阻浮 即 t mb d d 2 v v 因 yyt y td d d d d d d dv v vv y mb d d 2 v vv 分离变量并积分 v v0 v vd d 0 y y m b 得 mbymby gh e2e 0 vv 2 由上式代入已知条件得 m76 5 ln 0 v v b m y 2 92 9 质量为 45 0 kg 的物体 由地面以初速 60 0 m 竖直向上发射 物体
8、受到空气的阻力为 Fr kv 且 k 0 03 N m 仅供参考 12 级遥感 资环 1 求物体发射到最大高度所需的时间 2 最大高度为多少 解解 1 取竖直向上为 y 轴正方向 由牛顿第二定律 运动方程为 t kmg d dv mv 分离变量 并积分 0 0 0 d d v v v kmgk m t t 得 s11 6 1ln 0 mgk m t kv 2 由 yt kmg d d d dv mv v mv 分离变量积分 v v v d1d 0 0 0 max kmg kmg k m y y 得 m1831ln 0 0 max v kv mgk mg k m y 2 10 2 10 如图所示
9、 在光滑水平面上 放一质量为 m 的三棱柱 A 它的斜面的倾角为 现把一 质量为 m 的滑块 B 放在三棱柱的光滑斜面上 试求 1 三棱柱相对于地面的加速度 2 滑块相对于地面的加速度 3 滑块与三棱柱之间的正压力 习题 2 10 图 解 解 三棱柱 A 和滑块 B 受力如图 以三棱柱 A 为参考系 非惯性系 应用牛顿第二定律 有 1N F mg g m A a 1N F 2N F O B a x y A a BA a 仅供参考 12 级遥感 资环 BAA mamamg cossin 1 0sincos 1 AN maFmg 2 0sin 1 AN amF 3 11NN FF 4 以上四式联立
10、解得 2 sin cossin mm mg aA 2 sin sin mm gmm aBA 2 1 sin cos mm mgm FN 由加速度的矢量关系 得 2 222 sin sin 2 sin mm mmmm gaB 与竖直向下方向的夹角 cotarctan sin cos arctan mm m a aa BA ABA 2 11 2 11 跳伞运动员与装备的质量共为 m 从伞塔上跳出后立即张伞 受空气的阻力与速率的 平方成正比 即 2 kvF 求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率 T v 解 解 由牛顿第二定律 运动方程为 t kmg d d 2 v mv 分离变量
11、 并积分 v v v 0 2 0 d d kmgk m t t 得 v v kmg kmg kg m tln 2 1 即 kgmt kgmt k mg 2 2 e1 e1 v 当 t时 极限速率 k mg T v 2 12 2 12 一半径为 R 的半球形碗 内表面光滑 碗口向上固定于桌面上 一质量为 m 的小球 仅供参考 12 级遥感 资环 正以角速度 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动 求小球的运动水平面距离碗底的 高度 解 小球受力如图所示 由牛顿第二定律 运动方程为 2 sinsin mRFN 0cos mgFN 上两式消去 FN 求得 2 cos R g 小球运动水平面距离碗底的高
12、度为 1 cos1 2 R g RRh 2 132 13 在光滑的竖直圆环上 套有两个质量均为 m 的小球 A 和 B 并用轻而不易拉伸的绳 子把两球联结起来 两球由图示位置开始释放 试求此时绳上的张力 习题 2 13 图 解解 小球 A 和 B 受力如图所示 由牛顿第二定律 运动方程为 A maT 45sin 045cos TmgFNA B maTmg 45sin 045cos TFNB T mg mg FNA FNB aB aA 仅供参考 12 级遥感 资环 注意到TT AB aa 上四式联立求得 mgT 2 2 mgFNA 2 1 mgFNB 2 2 2 142 14 如图所示 一汽车在
13、雨中沿直线行驶 其速率为 v1 下落雨滴的速度方向偏于竖直方 向之前 角 速率为 v2 若车后有一长方形物体 问车速 v1为多大时 此物体正好不会被雨水 淋湿 解解 以雨滴为研究对象 地面为静止参考系 汽车为运动参考系 如图 v2为绝对速度 v1 为牵连速度 雨滴相对于汽车速度v 2为相对速度 要使物体不会被雨水淋湿 v 2的方向应 满足 h l arctan 由图可知 cos sin arctan 2 21 v vv 即 h l cos sin 2 21 v vv 所以 sin cos 21 h l vv 2 15 一飞机驾驶员想往正北方向航行 而风以h km60的速度由东向西刮来 如果飞机的 航速 在静止空气中的速率 为h km180 试问驾驶员应取什么航向 飞机相对地面的速率 为多少 试用矢量图说明 v2 v 2 v1 仅供参考 12 级遥感 资环 解 解 以地面为参考系 飞机为研究对象 如图 飞机相对地面的速度 v 为绝对速度 风的 速度 u 为牵连速度 飞机 的航速v 为相对速度 由 v u v 可得飞机相对地面的速度 170km h km h60180 2222 uvv 4 19 3 1 arcsin v u 驾驶员应取向北偏东 4 19的 航向 北 西 v v u
