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1、高中数学一轮复习资料第十五章 解析几何第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系A组1(2009年高考天津卷)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2,则a_.解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为:y,如图,由已知|AC|,|OA|2,有|OC|1,a1.答案:12(2009年高考全国卷)已知圆O:x2y25和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析:依题意,过A(1,2)作圆x2y25的切线方程为x2y5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为,切线与坐标轴围成的三角形面积S5.答案:3(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2y26x8y20
2、0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为_解析:圆的标准方程为(x3)2(y4)25,可知圆心为(3,4),半径为.如图可知,|CO|5,OP2.tanPOC.在RtPOC中,OCPMOPPC,PM2.PQ2PM4.答案:44若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点,则实数m的取值范围是_解析:将圆x2y22x4y40化为标准方程,得(x1)2(y2)21,圆心为(1,2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d1,m10.答案:(,0)(10,)5(原创题)已知直线xy2m0与圆x2y2n2相切,其中m,nN*,且nm5,则满足条件的有序实数对(
3、m,n)共有_个解析:由题意可得,圆心到直线的距离等于圆的半径,即2m1n,所以2m1m5,因为m,nN*,所以,故有序实数对(m,n)共有4个答案:4个6(2010年南京调研)已知:以点C(t,)(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点(1)求证:OAB的面积为定值;(2)设直线y2x4与圆C交于点M,N,若OMON,求圆C的方程解:(1)证明:圆C过原点O,OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2,令x0,得y10,y2;令y0,得x10,x22t.SOABOAOB|2t|4,即OAB的面积为定值(2)OMON,CMCN,OC垂直平分线段MN.k
4、MN2,kO C,直线OC的方程是yx.t,解得:t2或t2.当t2时,圆心C的坐标为(2,1),OC,此时圆心C到直线y2x4的距离d,圆C与直线y2x4不相交,t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.B组1直线axbyba0与圆x2y2x30的位置关系是_解析:直线方程化为a(x1)b(y1)0,过定点(1,1),代入圆的方程,左侧小于0,则定点在圆内,所以直线与圆总相交答案:相交2(2010年秦州质检)已知直线yx与圆x2y22相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点,则APB_.解析:弦心距长为,半径为,所以弦AB所对的圆心角为,又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半,所以
5、APB.答案:3已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),a与b的夹角为60,直线xcosysin0与圆(xcos)2(ysin)2的位置关系是_解析:cos60coscossinsincos(),d|cos()|r.答案:相离4过点A(11,2)作圆x2y22x4y1640的弦,其中弦长为整数的共有_条解析:方程化为(x1)2(y2)2132,圆心为(1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求直线条数为22(2510)32(条)答案:325若集合A(x,y)|y1,B(x,y)|yk(x2)4当集合AB有4个子集时,实数k的取值范围是_解析:
6、AB有4个子集,即AB有2个元素,半圆x2(y1)24(y1)与过P(2,4)点,斜率为k的直线有两个交点,如图:A(2,1),kPA,过P与半圆相切时,k,k.答案:k6(2009年高考全国卷)已知AC、BD为圆O:x2y24的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_解析:设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12d22OM23.四边形ABCD的面积S|AB|CD|28(d12d22)5.7(2010年宁波调研)已知圆C:x2y2bxay30(a、b为正实数)上任意一点关于直线l:xy20的对称点都在圆C上,则的最小值为_解析:由题意,知圆心在直线上,
7、所以()20,1,则()()112 1.8设圆O:x2y2,直线l:x3y80,点Al,使得圆O上存在点B,且OAB30(O为坐标原点),则点A的横坐标的取值范围是_解析:依题意点Al,设A(x0,)过点A作圆O的切线,切点为M,则OAMOAB30.从而sinOAMsin30,即sin30,就是|OA|24(|OM|2),x02()2,5x028x00,解得x00,答案:0,9(2009年高考江西卷)设直线系M:xcos(y2)sin1(02),对于下列四个命题:A存在一个圆与所有直线相交B存在一个圆与所有直线不相交C存在一个圆与所有直线相切DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的
8、代号是_(写出所有真命题的代号)解析:xcosysin2sin10.则点(0,2)到其直线的距离为d1.说明此直线是圆心为(0,2),半径为1的圆的切线圆心为(0,2),半径大于等于1的圆与所有直线相交,A对;圆心为(0,2),半径小于1的圆与所有直线不相交,B对;圆心为(0,2),半径等于1的圆与所有直线都相切,C对;因为M中的直线与以(0,2)为圆心,半径为1的圆相切,所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等如图ABC与ADE均为等边三角形而面积不等答案:A、B、C10已知圆C1:x2y22x2y80与圆C2:x2y22x10y240相交于A、B两点,(1)求公共弦AB所在的直线方程;
9、(2)求圆心在直线yx上,且经过A、B两点的圆的方程解:(1)x2y40.(2)由(1)得x2y4,代入x2y22x2y80中得:y22y0.或,即A(4,0),B(0,2),又圆心在直线yx上,设圆心为M(x,x),则|MA|MB|,解得M(3,3),M:(x3)2(y3)210.11(2010年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x2y21,直线l1过定点A(3,0),且与圆C相切(1)求直线l1的方程;(2)设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P,直线QM交直线l2于点Q.求证:以PQ为直径的圆C总过定点,并求出定点
10、坐标解:(1)直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2y21相切,设直线l1的方程为yk(x3),即kxy3k0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d1,解得k,直线l1的方程为y(x3)(2)对于圆C:x2y21,令y0,则x1,即P(1,0),Q(1,0)又直线l2过点A且与x轴垂直,直线l2方程为x3.设M(s,t),则直线PM的方程为y(x1)解方程组得P(3,)同理可得Q(3,)以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y)(y)0,又s2t21,整理得(x2y26x1)y0,若圆C经过定点,只需令y0,从而有x26x10,解得x32,圆C总经过定点,定点坐标为(32,0)12(
11、2009年高考江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标解:(1)由于直线x4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d1.由点到直线的距离公式得d,从而k(24k7)0,
12、即k0或k,所以直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为ybk(xa),k0,则直线l2的方程为yb(xa)因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即,整理得|13kakb|5k4abk|,从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk,即(ab2)kba3或(ab8)kab5,因为k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P只可能是点P1(,)或点P2(,)经检验点P1和P2满足题目条件高考资源网()来源:高考资源网版权所有:高考资源网(www.k s 5 )- 5 -用心 爱心 专心