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1、南昌十中2019-2020学年第一学期期中考试高三数学（理科）试题说明：本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，注 意 事 项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。1答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的05毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。2作答非选择题必须用书写黑色字迹的05毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。3考试结束后，请将答题纸交回。
2、第I卷(选择题)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设集合，则 ( )2、已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3、已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=4,a4=2,则S5=()A. 0B. 10C. 15D. 304、函数f(x)=2-x,x0,4-x2,012，则下列命题为真命题的是 A. (p)q B. (p)(q) C. p(q) D. pq6、已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为 （ ） 7、若实数x,y满足|x-1|-ln1y=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()A. B.
3、 C. D. 8、在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则EMEC的取值范围是 A. 12,2B. 0,12C. 12,32D. 0,19、已知三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥 体积的最大值为（ ） 11、已知P为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切,则C的渐近线方程为()A. y=43xB. y=34xC. y=35xD. y=53x12、已知函数与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 （ ）第卷(非选择题)二、填空题（本大题共4小
4、题，每小题5分，共20分）13、设，则的最小值为 .14、已知sin+6-cos=13，则cos2-3的值为_15、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x-3,3)时,，则= 16、 已知定义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立， 则实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（12分）数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*（1）证明：数列ann是等差数列；（2）设bn=3nan,求数列bn的前n项和Sn18、（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是边长为2的正方形,PB=PD=32,PC=4,点E
5、为PA中点,AC与BD交于点O求证：OE平面ABCD；求二面角B-PA-D的余弦值19、（12分）如图,在梯形ABCD中,已知ADBC,AD=1,BD=210,CAD=4,tanADC=-2,求：(1)CD的长；(2)BCD的面积20、2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段9:209:40记作区间20,40),9:4010:00记作40,
6、60),10:0010:20记作60,80),10:2010:40记作80,100.例如：10点04分,记作时刻64（1）估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；（2）为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:2010:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N,2,其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,2可用样本的方差近似代替同一
7、组中的数据用该组区间的中点值代表,已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在之间通过的车辆数结果保留到整数参考数据：若TN,2,则P(-T)=0.6827；P(-2T+2)=0.9545；P(-3T+3)=0.997321、（12分）已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2()讨论f(x)的单调性； ()若f(x)有两个零点,求a的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(本题10分)22、 在直角坐标系中，直线的参数方程为.在以原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1） 直接写出直线、曲线C的平面直角坐标方
8、程；（2） 设曲线C上的点到直线的距离为，求的取值范围。23、 已知函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数满足，求证：.数学（理科）参考答案1、 选择题题号123456789101112答案DBCABCBCDBAA2、 填空题13、 14、 15、338 16、3、 解答题17、 证明：nan+1=(n+1)an+n(n+1),an+1n+1=ann+1,an+1n+1-ann=1,数列ann是以1为首项,以1为公差的等差数列；解：由知,ann=1+(n-1)1=n,an=n2,bn=3nan=n3n,Sn=13+232+333+(n-1)3n-1+n3n,3
9、Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1,-得-2Sn=3+32+33+3n-n3n+1=3-3n+11-3-n3n+1=1-2n23n+1-32,Sn=2n-143n+1+3418、 (I)证明：底面四边形ABCD是边长为2的正方形,PB=PD=32,PC=4,在PBC中,PB2=PC2+BC2,PCBC,同理可得PCCD,而BCCD=C,且BC、CD平面ABCD,PC平面ABCD,在PAC中,由题意知O、E分别为AC、PA中点,则OEPC,而PC平面ABCD,OE平面ABCD由(I)知：OE平面ABCD,故可建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,A(1,0,0),B(0,
10、1,0),D(0,-1,0),P(-1,0,4),AP=(-2,0,4),AB=(-1,1,0),AD=(-1,-1,0),设n=(x,y,z)、m=(a,b,c)分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量,则nAP=0nAB=0,mAP=0mAD=0,-2x+4z=0-x+y=0,-2a+4c=0-a-b=0,不妨设z=c=1,则n=(2,2,1),m=(2,-2,1),cos=nm|n|m|=22-22+1199=19,由图知二面角B-PA-D为钝二面角,二面角的B-PA-D的余弦值为-1919、 解：(1)tanADC=-2,sinADC=255,cosADC=-55sinACD=sin(
11、CAD+ADC)=sinCADcosADC+cosCADsinADC=22(-55)+22255=1010在ACD中,由正弦定理得ADsinACD=CDsinCAD,即11010=CD22,解得CD=5(2)ADBC,sinBCD=sinADC=255,cosBCD=-cosADC=55在BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2BCCDcosBCD,即40=5+BC2-2BC,解得BC=7或BC=-5(舍SBCD=12BCCDsinBCD=1275255=720、解：（1） 这600辆车在9：2010：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(300.005+500.015+700.0
12、20+900.010)20=64,即10点04分（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中,在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)2010=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4所以P(X=0)=C64C104=114, P(X=1)=C63C41C104=821,P(X=2)=C62C42C104=37, P(X=3)=C61C43C104=435,P(X=4)=C60C44C104=1210,所以X的分布列为X01234P114821374351210所以E(X)=0114+1821+237+3435
13、+41210=85(3)由(1)可得=64,2=(30-64)20.1+(50-64)20.3+(70-64)20.4+(90-64)20.2=324,所以=18,估计在9：4610：22这一时间段内通过的车辆数,也就是通过的车辆数,由TN(,2),得所以,估计在9：4610：22这一时间段内通过的车辆数为21、解：由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,可得f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)当a0时,由f(x)0,可得x1；由f(x)0,可得x1,即有f(x)在(-,1)递减,在(1,+)递增如右上图；当a0时如右下图,若a=-e2,则f(x)0恒成立,即有f(x)在R上递增；若a0,可得xln(-2a),由f(x)0,可得1xln(-2a),即有f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)递增,在(1,ln(-2a)递减；若-e2a0,可得xln(-2a)或
