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1、山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，故选择C考点：集合的运算2.是等差数列，则该数列前10项和等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】试题分析：a1+a2=4，a7+a8=28，解方程组可得 考点：等差数列通项公式及求和【此处有视频，请去附件查看】3.若函数存在与直线平行的切线,则实数取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：有解。，故选C考点：导数与切线斜率的关系，存在
2、性问题的转化,对勾函数的值域4.若，则是的条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若，则成立，即必要性成立又当，时，成立，但即反之不一定成立，即充分性不成立即是的必要不充分条件，本题正确选项：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键5.如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在中，令，得，故；又函数的最小正周期为，所以选A6.在中，的面积为则A. 13
3、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值【详解】，的面积为解得：，由余弦定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数A. 13B. 10C. 9D. 6【答案】D【解析】数列an的通项公式是，则：据此可得：，求解关于的方程可得n6.本题选择D选项.8.已知函数，若，则实数的取值范围A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，得到，根据函数在递增，求出的范围即可.【详解】函数， 即即而在递增，故解
4、得：本题正确选项：【点睛】本题考查了函数的单调性问题，求出和的关系是解题的关键，是一道中档题9.已知ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m_.【答案】3【解析】试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.考点：平面向量.【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是A. B. C. D. ，【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出函数的图象草图，而直线恒过定点，分析可得若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，据此分情况讨论的取值范围，综合即可得答案【详解】根据题意，函数，其图象如图：直线恒过定点若存在使得，则函数的图象在直线下方有
5、图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点分析可得：当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限则有，即，变形可得令，解得或（舍）则有综合可得：的取值范围为本题正确选项：【点睛】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数的图象，通过图象分析出直线需满足的条件.11.已知函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记函数在上的最小值为:的定义域为.令，得或.时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为当时，的最小值为;当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为.由可知易知在上单调递减
6、，且,故实数的取值范围为.故选C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .12.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项，根据单调性可求出存在正常数满足条件；而对
7、于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数使之满足条件，由此即可得到正确答案【详解】对于，是任意正数时都有，是倍约束函数，故正确；对于，即，不存在这样的对一切实数均成立，故错误；对于，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故正确对于，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确本题正确选项：【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题二、
8、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量与满足，则则与的夹角为_。【答案】【解析】试题分析:有题意得，考点：求平面向量的夹角.【此处有视频，请去附件查看】14.在中，则的角平分线，则_【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知可求，进而可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值【详解】中，由正弦定理可得：，为的角平分线，在中，由正弦定理可得：本题正确结果：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题15.函数有极值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出的导数，通过讨论的范围
9、，确定导函数的符号，得到函数的单调性，从而确定的范围即可【详解】 令函数有极值，则在区间上有实数根当时，则函数在区间单调递增时，；时，故存在，使得在递减，在递增故的极大值是，符合题意；当时，令，解得令，解得，此时函数单调递增令，解得，此时函数单调递减当时，函数取得极大值当趋近于与趋近于时，要使在区间上有实数根，则，解得综上：实数的取值范围是本题正确结果：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，是中档题16.定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为_.【答案】1【解析】【分
10、析】根据线周期函数定义，建立方程，然后利用对比法进行求解即可【详解】若为线周期函数则满足对任意，恒成立即，即则 本题正确结果：【点睛】本题主要考查函数周期的应用，新定义问题.结合新定义线周期函数，建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为1求函数的单调增区间；2将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得的
11、单调增区间；（2）由题意根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用定义域和单调性，求得函数的值域【详解】（1）由题意可得由题意知： 由解得：的单调增区间为（2）由题意，把的图象向左平移个单位，得到再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到 函数的值域为【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由可得 化为：由成等比数列，可得 化为：联立解得：即可得出（2） 利用裂项求和方法、等
12、差数列的求和公式即可得出试题解析：（1）因为，即即，因为为等比数列，即所以，化简得：联立和得：，所以（2）因为 所以 19.已知函数，若，函数的图象与函数的图象相切，求的值；若，函数满足对任意，都有恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设切点为，得到切线方程，可得，求解可得值；（2）当，时，利用导数研究函数单调性，不妨设，原不等式，即，令，把原不等式转化为在上递减，由在上恒成立，分离参数后利用函数的单调性求最值得答案【详解】（1）若，函数的图象与的图象相切设切点为，则切线方程为得 （2）当，时， 在上单调递增不妨设，原不等式即设，则原不等式在上递减即在上恒成立在上
13、恒成立函数在上递减 又 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题在求解恒成立问题时，通过分离变量方式得到参数与最值的比较是常用方式.20.在中，是边上的点，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果（2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积试题解析：（1）在中， ，得由，得在中，由正弦定理得，所以（2）因为，是锐角，所以设，在中，即化简得：解得或（舍去）则由和互补，得所以的面积21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，1求和的通
14、项公式；2设数列的前项和为，求；证明 【答案】(1)，；(2)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（1）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（1），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数当时，求的单调区间；令，在区间，为自然对数的底（i）
